Кафедра математики

Поддержка и популяризация математического образования. Реализация проектов и программ обучения.

 

Главная » Дистанционное . . (8-11 кл) » Архив » Занятия » Проект 'КомбАлг' » программа

Программа дистанционных занятий

по углубленной (олимпиадной) математике 

(при поддержке Яндекса и ЦДО "100EGE.ru")

весна 2011; осень 2011; весна 2012; осень 2012; весна 2013; осень 2013; ...

 

Осень 2013 года.

  • 22окт: "Разбор задач Сентябрьской олимпиады - ч. 1 из 2" (запись: http://100ege.ru/groups/2855)
  • 05ноя: "Разбор задач Сентябрьской олимпиады - ч. 2 из 2" (запись: http://100ege.ru/groups/2899)
  • 26ноя: "Разбор задач личных олимпиады Математического многоборья"
  • 03дек: "Разбор задач командных олимпиад Математического многоборья"

Весна 2013 года.

Осень 2012 года. Наверх.

  • "Асимптотика". Задачи данного типа решаются рассмотрением достаточно больших объектов.
    • Пример: Докажите, что существует число, которое представимо в виде суммы трех квадратов не менее 10000 способами. 
  • "Перестановки".
    • Пример:
  • "Конструктивы". Задачи на построение не очень простых примеров или на доказательство их существования (речь идёт о задачах с вопросом «Можно ли..?»). Разные стандартные соображения могут при этом помочь.
    • Пример: Можно ли в клетках доски 8*8 расставить числа от 1 до 64 так, чтобы все числа были либо больше всех своих соседей, либо меньше всех своих соседей.

(+ Сентябрьская, Ноябрьская, Январская олимпиады!)

Весна 2012 года. Наверх.

  1. Параметры в олимпиадных задачах.

    • Пример: "Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений x2+y2+xy=a, x2–y2=b, где а и b - некоторые данные действительные числа."
  2. Рекурренты в комбинаторике.

    • Пример: "Рассмотрим шахматные доски со сторонами 2, 3, 4,... Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. а) Двигаться можно только вверх и вправо. б) Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?"
  3. Касание окружности.

    • Пример: "Три окружности с центрами M, N, P касаются друг друга в точках A, B, C. Докажите, что окружность, описанная около треугольника ABC, совпадает с окружностью, вписанной или вневписанной в треугольник MNP. Разберите все случаи."   
  4. Нелинейные диофантовы уравнения.

    • Пример: "Решите в натуральных числах уравнение 3x+4y=5z." 
  5. Степенные ряды в алгебре, анализе и комбинаторике.

    • Пример: "Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних. Найдите число счастливых билетов."

(+ Мартовская и Майская олимпиады!)

Осень 2011 года. Наверх.

 

  1. "Теория чисел". Делимость, оценки, остатки.

  • Пример: Даны натуральные a и b такие, что число c=(a2+b2)/(ab+1) является целым. Докажите, что c – полный квадрат. либо равно единице.
  • "Последовательности". Задачи на счетные числовые наборы. Монотонность, ограниченность, периодичность, сходимость.

  • Пример: Даны последовательность вещественных чисел x1,x2,x3,... и натуральное число T. Докажите, что если среди всевозможных упорядоченных T-элементарных наборов вида (xk+1,xk+2,...,xk+T) имеется не более T различных, то последовательность x1,x2,x3,... периодична.

  • Пример: Два конуса касаются одной сферы (вершина каждого конуса расположена вне другого). Докажите, что пересечение этих конусов расположено в некоторых двух плоскостях.

  • Пример: Не существует решетки, узлы которой не могут одновременно содержать вершины некоторого квадрата и вершины некоторого правильного треугольника.

  • Пример: Многочлен степени n принимает целые значения в точках 0,1,4,...,n2. Докажите, что он принимает целые значения во всех квадратах целых чисел.
  • "Проективная геометрия". Задачи, в решении которых используются проективные преобразования или проективные инварианты.
  • "Решётки". Задачи на параллелограмные решетки и распложенные на них фигуры. Параллелограммные решетки представляют из себя множество концов векторов {ma+nb}, где a и b фиксированные непропорциональные вектора, а m и n пробегают всевозможные целые значения.
  • "Многочлены". Арифметические, алгебраические и аналитические свойства многочленов.

(+Ноябрьская и Январская олимпиады!)

Весна 2011 года. Наверх.

  1. "Классическая геометрия". Задачи, которые не требуют особых знаний и тем не менее требуют особой сообразительности при решении.
    • Пример: Точка P лежит внутри остроугольного треугольника ABC. Докажите, что основания перпендикуляров из P на стороны AB и AC равноудалены от середины стороны BC тогда и только тогда, когда точки, симметричные P относительно середины стороны BC и биссектрисы угла A, лежат на одной прямой с точкой A.
  2. "Соображения линейности в алгебре и комбинаторике".
    • Пример: Дано n лампочек и n выключателей. Разрешается каждую лампочку подключить к некоторому количеству выключателей. В начале все лампочки выключены. Сколько существует способов подключить лампочки к выключателям, так чтобы переключая выключатели можно было получить все возможные варианты горящих лампочек?
  3. "Доски и раскраски". Задачи, в условиях которых фигурируют доски или таблицы, нередко встречаются на олимпиадах. При их решении можно выделить некоторые общие идеи.
    • Пример: Доска 300*300 разбита на доминошки. Доказать, что их можно раскрасит в 3 цвета, чтобы каждая доминошка граничила не более чем с двумя такого же цвета. (Доминошки граничат, если у них есть общий отрезок).
  4. "Преобразования в неравенствах". Задачи, не решающиеся с помощью универсального метода или стандартного неравенства, но становящиеся достаточно простыми после некого преобразования выражений.
    • Пример: Для положительных x1, x2, x3, таких что x1x2x3=1, доказать, что выражение x1 /(1+x2+x1x2)+x2 /(1+x3+x2x3)+x3 /(1+x1+x3x1) больше либо равно единице.
  5. "Соображения линейности в геометрии". Задачи, в которых можно использовать то, что при линейном изменении каких-то параметров, некоторые другие параметры тоже меняются линейно.
    • Пример: Теорема Гаусса. В произвольном четырехугольнике прямая, содержащая середины диагоналей, проходит через середину отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон.

 

(+Весенняя олимпиада!)