Кафедра математики

Поддержка и популяризация математического образования. Реализация проектов и программ обучения.


 

Программа дистанционных занятий осенью 2011 года

Осень 2011 года.

"Теория чисел". Делимость, оценки, остатки.

  • Пример: Даны натуральные a и b такие, что число c=(a2+b2)/(ab+1) является целым. Докажите, что c – полный квадрат. либо равно единице.

"Последовательности". Задачи на счетные числовые наборы. Монотонность, ограниченность, периодичность, сходимость.

  • Пример: Даны последовательность вещественных чисел x1,x2,x3,... и натуральное число T. Докажите, что если среди всевозможных упорядоченных T-элементарных наборов вида (xk+1,xk+2,...,xk+T) имеется не более T различных, то последовательность x1,x2,x3,... периодична.
"Проективная геометрия". Задачи, в решении которых используются проективные преобразования или проективные инварианты.
  • Пример: Два конуса касаются одной сферы (вершина каждого конуса расположена вне другого). Докажите, что пересечение этих конусов расположено в некоторых двух плоскостях.

"Решётки". Задачи на параллелограмные решетки и распложенные на них фигуры. Параллелограммные решетки представляют из себя множество концов векторов {ma+nb}, где a и b фиксированные непропорциональные вектора, а m и n пробегают всевозможные целые значения.

  • Пример: Не существует решетки, узлы которой не могут одновременно содержать вершины некоторого квадрата и вершины некоторого правильного треугольника.

"Многочлены". Арифметические, алгебраические и аналитические свойства многочленов.

  • Пример: Многочлен степени n принимает целые значения в точках 0,1,4,...,n2. Докажите, что он принимает целые значения во всех квадратах целых чисел.

(+Ноябрьская и Январская олимпиады!)