Программа дистанционных занятий весной 2011 года

Весна 2011 года.

1. "Классическая геометрия". Задачи, которые не требуют особых знаний и тем не менее требуют особой сообразительности при решении.
   • Пример: Точка P лежит внутри остроугольного треугольника ABC. Докажите, что основания перпендикуляров из P на стороны AB и AC равноудалены от середины стороны BC тогда и только тогда, когда точки, симметричные P относительно середины стороны BC и биссектрисы угла A, лежат на одной прямой с точкой A.
2. "Соображения линейности в алгебре и комбинаторике".
3. Пример: Дано n лампочек и n выключателей. Разрешается каждую лампочку подключить к некоторому количеству выключателей. В начале все лампочки выключены. Сколько существует способов подключить лампочки к выключателям, так чтобы переключая выключатели можно было получить все возможные варианты горящих лампочек?
4. Пример: Доска 300*300 разбита на доминошки. Доказать, что их можно раскрасит в 3 цвета, чтобы каждая доминошка граничила не более чем с двумя такого же цвета. (Доминошки граничат, если у них есть общий отрезок).
5. Пример: Для положительных x₁, x₂, x₃, таких что x₁x₂x₃=1, доказать, что выражение x₁ /(1+x₂+x₁x₂)+x₂ /(1+x₃+x₂x₃)+x₃ /(1+x₁+x₃x₁) больше либо равно единице.
6. Пример: Теорема Гаусса. В произвольном четырехугольнике прямая, содержащая середины диагоналей, проходит через середину отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон.
7. "Доски и раскраски". Задачи, в условиях которых фигурируют доски или таблицы, нередко встречаются на олимпиадах. При их решении можно выделить некоторые общие идеи.
8. "Преобразования в неравенствах". Задачи, не решающиеся с помощью универсального метода или стандартного неравенства, но становящиеся достаточно простыми после некого преобразования выражений.
9. "Соображения линейности в геометрии". Задачи, в которых можно использовать то, что при линейном изменении каких-то параметров, некоторые другие параметры тоже меняются линейно.

(+Весенняя олимпиада!)