Спецреспублика Московского университета

Школа им. А.Н. Колмогорова Московского государственного университета им.. М.В. Ломоносова^* обучает юношей и девушек, которые любят учиться и уже проявили стойкий интерес к углубленному изучению той или иной дисциплины. Своих питомцев школа не причисляет к довольно расплывчатой группе “одаренные дети”, а ее основное предназначение состоит в создании условий для воспитания и развития у учащихся пытливого и творческого отношения к обучению, в подготовке их к обучению в вузе и к раннему приобщению к научной работе.

Школа была открыта чуть более сорока лет назад (раньше она называлась физико-математической школой-интернатом №18 Мосгороно при МГУ) и задумывалась она, прежде всего, как школа научного творчества для молодежи, куда на конкурсной основе принимались и принимаются сейчас школьники из Центральной России.¹ Школа небольшая (около 350 учащихся) - в ней только десятые и одиннадцатые классы; имеется как двухгодичный цикл обучения, так и одногодичный. Специализаций обучения в настоящее время четыре: физико-математическая, компьютерно - информационная, химическая и биологическая.. Говоря о школе научного творчества, мы имеем в виду не только профилирующие дисциплины. Так, выступая на одном из заседаний педагогического совета, основатель школы А.Н. Колмогоров специально выделял эту учительскую задачу: “Существенно, что здесь в интернате, школьники приходят в соприкосновение с творческой мыслью. Это наш запрос, но по всем предметам!.. Метод работы – имитация научного исследования, шаг за шагом находить, вычислять нечто…, а не давать готовенькое…”. В 1988 году на базе школы-интерната был организован Специализированный учебно-научный центр МГУ (куда вошла и школа), который стал самостоятельным структурным подразделением Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова со всеми его атрибутами: возникло звание “Учащийся Московского университета” с соответствующим удостоверением, правами и обязанностями, появились кафедры, ученый совет, выпускники школы при наличии рекомендации ученого совета Центра зачисляются в МГУ без экзаменов и т.д.

Каждый год происходит прием новых учащихся, который начинается в апреле. Для его осуществления проводятся вступительные экзамены, причем в местах проживания абитуриентов. Часто окончательное решение о зачислении принимается после работы летней школы², куда приглашаются все успешно выдержавшие вступительные экзамены (в ней несколько недель учатся, затем сдают еще раз экзамены). То есть к нам поступить довольно трудно и сам факт участия школьников во вступительных экзаменах означает, что они уже серьезно задумались о качестве своего образования, о своей будущей специальности, жизни и деятельности. При проведении вступительных экзаменов по математике мы, в первую очередь, стремимся отобрать среди наших абитуриентов тех школьников, которые не только обладают определенной суммой знаний, но и проявляют стойкий интерес к учебе, умеют решать нетипичные задачи и логично рассуждать, хорошо восприимчивы к изучению нового материала.

После всего перечисленного, так и хотелось бы здесь написать, что мы ежегодно желаем отобрать талантливых, способных, одаренных (кстати, по-моему, эти слова синонимичны; по крайней мере, в бытовом понимании их значений). Но… это невозможно сделать хотя - бы потому, что такого количества (прием – около 150 человек) талантливых и “наших” детей просто нет. И не нужно забывать, что специализированных школ и классов в стране очень много, все хотят и любят работать со способными, трудолюбивыми, инициативными, дисциплинированными юношами и девушками. Вторая важная причина неразрешимости задачи “отбора одаренных” для нашей школы состоит в том, что никто из нас не в состоянии только по итогам вступительных экзаменов, выступлений на олимпиадах, сведениях о текущей успеваемости, на основе тестирований определить всего за несколько встреч наличие способностей ученика. Само понятие одаренности, которого придерживаются большинство психологов, не предполагает наличие каких-то одномоментных качеств, а характеризуется постоянно развивающимся состоянием психики человека и проявляется в период всей его активной жизни. А на экзаменах ничего “развивающегося” не разглядеть (в отличие от летней школы для наших абитуриентов!).

Поэтому основная цель на наших вступительных экзаменах – это отобрать тех, кто умеет спокойно разобраться в вопросе, где требуется не только (и не столько) определенный багаж знаний, а умение использовать этот багаж в нестандартной ситуации. На экзаменах по математике очень легко проверить наличие конкретных программных школьных знаний, умений и навыков. Для этого большого искусства от экзаменаторов не требуется. Гораздо сложнее и важнее выявить умение логично рассуждать и, желательно, нестандартно. Хотелось бы, конечно, отобрать в школу также молодежь, которая хотя - бы в небольшой степени уже обладает задатками математического мышления. Причем не формального мышления (то есть такого, которое базируется на аксиомах, определениях, на знаниях формул и алгоритмов), а того, которое включает способность рассуждать по аналогии, умение обобщать рассмотренные частные случаи, выделять математическое содержание в анализируемой ситуации и т.д. Но все это можно обнаружить при наличии устного вступительного экзамена, который много лет и проводится (в последнее время он иногда заменяется очной письменной вступительной работой). Для отбора желаемых школьников у математиков имеются специальные приемы. Ряд из них состоит в проверке понимания основных математических принципов, причем на задачах из разных разделов математики. Таких, как принцип математической индукции, включения-исключения, Дирихле, исключенного третьего и т.д. При этом, часто используются так называемые задачи на доказательство, задачи на построение каких-либо специальных конструкций, задачи “на угадывание” (когда требуется сначала угадать формулу или ответ, а потом уже провести необходимое рассуждение), задачи, в которых требуется установить существование чего-либо, но сам численный ответ выписать невозможно (задачи “на существование и отсутствие”), чисто логические задачи и разные их разновидности, задачи исследовательского характера и т.п. Головоломками, задачами олимпиадного типа (задачами “с изюминками”) мы не увлекаемся³).

Прием учащихся в школу состоялся. Теперь нужно детей учить и воспитывать. И здесь не самая важная проблема определить чему учить, так как круг необходимых программных вопросов и тем для изучения, в основном, давно сложился, используется всеми специализированными школами и здесь имеется богатый методический материал и опыт его преподавания. Гораздо важнее определить: как учить и как воспитывать? А работать нужно с детьми, которые пришли из разных школ страны и, как правило, все они были отличниками в своих школах, активными и популярными личностями, что создает определенную и довольно сложную социокультурную внутришкольную среду шестнадцатилетних юношей и девушек. Многие из них впервые в столице, причем не на экскурсии, а как ее жители, со всеми историческими, культурными ценностями и соблазнами мегаполиса. Им придется целыми днями общаться вместе: учиться, отдыхать, кормиться, жить в общежитии (москвичей в школе немного), самостоятельно решать многие бытовые вопросы, резвиться, смеяться и плакать, сопереживать и т.д. А главное, им придется много и упорно работать – учебный план школы содержит много дисциплин, все они с довольно обширной программой и общее число только обязательных уроков составляет более сорока двух часов в неделю. Кроме того, по учебному плану все учащиеся должны прослушать и сдать два специальных курса по выбору, один их которых – гуманитарный, выполнять задания специальных практикумов по информатике, математике, физике, химии. Отметим здесь, что наша школа является государственной (родители все же платят немного за пансион), но не находится в рамках “всеобуча” - мы отчисляем из школы тех, кто грубо нарушает дисциплину или не справляется с нашим учебным планом.

Учебная деятельность в школе складывается, естественно, из деятельности обучающего и деятельности учащегося (напомним, что в школе сейчас нет должности учителя, а работают профессора, доценты, старшие преподаватели, ассистенты). Поэтому все, кто переступает порог школы, включены в систему общественных отношений, в коллективную деятельность и эта форма сотрудничества направлена на достижение общих целей. Как бы тщательно мы не отбирали учащихся Московского университета, их уровень учебной подготовки и развития разный и выделить так называемую “точку отсчета”, единую для всех невозможно (которой и быть не может, так как она в основе своей связана с индивидуальными особенностями развития личности). Ясно, что с вновь поступившими проводятся предметные тестирования, основная задача которых направлена уже не только на то, чтобы выяснить уровень знаний, умений и навыков приобретенных ранее, а и для того, чтобы адекватно составить и уточнить учебные планы хотя бы на один семестр, представить себе имеющиеся навыки общения школьников с компьютером, выявить учащихся с “олимпиадными” качествами, определить их языковую подготовку (включая русский язык), физическую подготовку и т.д. Отсутствие единой основы математической подготовки у вновь поступивших обязывает нас широко использовать индивидуальные подходы в процессе обучения, что крайне важно и, особенно, в первом семестре. Это в школе достигается за счет того, что в довольно небольшом классе работают одновременно два преподавателя, один из которых проводит общую линию урока, а оба вместе непосредственно за рабочими столами учеников отвечают на их вопросы, разъясняют непонятные места, подсказывают, поясняют, рассказывают что – то интересное и новое именно для этого ученика. Наличие двух преподавателей в классе – это важный момент в организации всего обучения специальным дисциплинам. Это, конечно, дорогое удовольствие для Московского университета, но оно стоит того – школа качественно готовит его будущих студентов и аспирантов, а в конечном итоге, и будущее научное поколение страны⁴.

Математических предметов три (а не два, как в массовой школе): Геометрия, Алгебра, Математический анализ и на них в обязательной сетке сейчас отведено 9 часов в неделю. До “кавалерийской гуманитаризации” школьного образования их было 12-14. Такое снижение числа часов на математику является одной из самых неприятных ошибок, которую приходится исправлять с большим трудом и процесс этот болезненный и длительный. Система преподавания лекционно-семинарская и приближена к вузовской. Лекций немного и они по математике одночасовые. Подготовить такую лекцию для школьников довольно хлопотное дело, так как за довольно короткое время нужно изложить что-то законченное и вызывающее неподдельный интерес у слушателей. Интерес к обучению и изучению очень многое определяет в школьной жизни, в ее общей учебной атмосфере и он достигается, главным образом, строгим отбором изучаемого материала, стилем его изложения, мастерством лектора и преподавателя, их заинтересованностью в результатах своего труда, а также и … популярностью лектора и преподавателей у учащихся. Сказанное в равной степени относится как к лекциям, так и к текущим урокам по математике, которые у нас сдвоенные.

В школе всегда должно быть интересно именно учиться, а не “бывать” в ней. Познавательный интерес к изучению предмета (к теме, к домашнему заданию, к олимпиаде, к специальному дополнительному курсу, кружку,…) не может присутствовать постоянно, так как сам процесс изучения, выбор тем и последовательность их изложения, обучающимся навязан. Правда, на специальных курсах после обязательных уроков, которые посвящены тренингу решения задач вступительных экзаменов всегда много учащихся и их интерес в течение всего периода обучения несомненен. Но такие курсы и нельзя считать навязанными, так как они нацелены на решение той из конкретных задач, ради решения которой школьники, в основном, и поступали в нашу школу; более того, учащиеся сами заказывают темы, а часто и конкретные типы задач, которые в таких курсах целесообразно рассмотреть. Другой крайний пример – короткая самостоятельная (контрольная) работа. Кому, кроме преподавателя, это действительно интересно? Хотя встречаются и такие школьники, которым они нравятся, но их мало.

Напрямую с интересом изучения связана неизбежно возникающая избирательность познавательной активности учащихся на уроках и, тем самым, их ценность и эффективность для них. В этом приходится убеждаться постоянно и примеры долго искать не надо (не говоря уж о занятиях посторонними делами на некоторых уроках математики). Активность в обучении не возникает сама по себе, а связана с отношением ученика к той учебной работе, которую ему предлагают выполнять, и, пожалуй, ее развитие и поддержка накрепко связана с тщательной продуманностью отобранного преподавателем материала для изучения и манерой его преподнесения. Часто говорится, что преподавание – это искусство, что учитель – это актер и т.д. И это правда, но все-таки определяющим здесь является профессиональная подготовка преподавателя к данному уроку или к данной лекции, а уж потом “актерская деятельность”. При подготовке к занятиям преподавателю приходится отвечать на множество своих собственных вопросов. Можно ограничиться только вычислениями и не привлекать для этого геометрических средств, а можно их и привлечь, а тогда быть - может станет интереснее и считать; можно решать задачу с конкретным ответом и сверить его с тем, что имеется в книге, а часто можно эту же задачу переделать в исследовательскую; можно всем классом провести некоторую классификацию, когда каждый из учеников выполняет свою конкретную задачу, а в итоге работы всего класса возникает перечень, каталог, таблица, схема,…, а можно вообще исключить такого рода деятельность; можно ограничиться одним решением задачи, а можно разобрать несколько различных ее решений; можно рассказать о конкретных важных задачах и об истории их математической жизни, а можно ограничиться фамилией ученого, ее решившего; можно не иметь задач с практическим содержанием, а можно их постоянно включать в обиход на уроке; можно затеять устный опрос у доски, который, как правило, отнимет дорогое учебное время у большинства школьников, а можно просто провести коллоквиум для всех; можно дать контрольную работу, которую мало кто решит, а можно дать нормальную, которая действительно покажет, кто из учеников не усвоил основного материала по теме; можно придерживаться только индуктивных построений, а можно подключить и дедуктивные; можно использовать только одну книжку, а можно несколько; можно специально подобрать несколько задач для наиболее сильных учеников, а можно ограничиться просто “опережающим темпом” в ходе урока и использовать материалы подготовленные для всех; можно принести в класс компьютер или проектор, а можно и не приносить; можно …. (далее довольно большой список возможностей, который легко продолжить тому, кто всерьез относится к преподавательскому ремеслу). И наличие двух преподавателей в классе на одном уроке (разные пары преподавателей, как правило, ведут разные дисциплины) позволяет подготовить и провести занятия, продумав заранее многие из перечисленных выше альтернативных возможностей и распределив между собой темы и функции на уроке. Но, во - первых, для этого нужно иметь возможности для маневра. Такая возможность у нас имеется – мы жестко не связаны обязательными министерскими программами, а каждый лектор (он же и “руководитель дисциплины”) имеет около двадцати процентов “программной свободы”, которую он может использовать в соответствии со своими вкусами и по своему усмотрению. Во-вторых, конечно, нужны преподаватели, которые способны так готовиться к урокам, а потом… вдохновенно, эмоционально и артистично их проводить. Источником здесь является Московский университет (по всем основным дисциплинам), а главными критериями для подбора преподавателей кафедры математики является интерес к научной математической деятельности, опыт преподавания, любовь и желание работать со школьной молодежью, общая культура и личные интересы, коммуникабельность в общении. Другими словами, мы стараемся пригласить в школу преподавателей, которые сами активны и интересны (часто из наших выпускников) ⁴.

Учебная деятельность ученика, прежде всего должна быть ему посильной и находиться в “зоне его ближайшего развития (Л.С. Выготский)”, помогать учащемуся в решении возникающих у него самых разнообразных учебных проблем и служить решению главной поставленной цели в обучении. А эта цель у преподавателей и учащихся одна – подготовиться к поступлению в университет и к обучению в нем. Целенаправленная и интенсивная подготовка к вступительным экзаменам в вузы, причем самого высокого уровня, проходит, как правило, вне основного учебного времени. Такую подготовку для наших школьников осуществить не очень трудно. Дополнительные занятия кафедрой тщательно планируются и для этого, зачастую, приглашаются специальные преподаватели (авторы книг и пособий, опытные преподаватели школ и вузов), имеющих репетиторский опыт и принимавших участие в составлении задач вступительных экзаменов и в работе университетских экзаменационных комиссий. Сказанное не означает, что на текущих уроках задачам вступительных экзаменов внимания не уделяется совсем; просто характер и интенсивность таких занятий различны и послеобеденные занятия не являются обязательными и, тем самым, школьник может сам выбирать те темы на этих занятиях, в которых он чувствует себя не совсем уверенно. Все наши выпускники (за крайне редким исключением) становятся студентами, школа и кафедра тщательно анализирует итоги их поступления в вузы, а также и собственные пробелы в организации и тематическом планировании тренировочных предэкзаменационных занятий школьников⁵.

Подготовка к вступительным экзаменам – это еще не подготовка к обучению в вузе, а небольшой фрагмент этой общей подготовки в нашей системе преподавания математики. Уже сама вузовская система организации учебного процесса, принятая в школе, многому учит и воспитывает: умению слушать и записывать лекции, работать с книгой в читальном зале библиотеки (у нас пока нет собственных учебников), планировать свое рабочее время и досуг, сдавать экзамены в каждом семестре, жить в общежитии и строить межличностные отношения, пользоваться своими правами учащегося университета (не забывая об обязанностях), коллективизму и уважению к окружающим. Главная же задача подготовки к обучению в вузе напрямую связана с постановкой всей системы математического образования, основной целью которой мы стремимся сделать развитие интеллекта и воспитание интереса к самостоятельной творческой деятельности. Другими словами мы стремимся “научить учиться” и “научить думать”. Многими специалистами самого различного профиля признается, что лучше всего в школе это может сделать математика, об этом же говорит и весь мировой опыт человечества. При этом под интеллектуальным развитием ученика, применительно к математике, мы понимаем расширение объема знаний (кругозора), развитие умений и навыков решать задачи ⁶.

Наши учебные программы по математике включают в себя много материала, который выходит за рамки официальных министерских программ⁷. Это можно сделать, так как нам приходится работать с отобранными школьниками и с уже выраженными интересами к учебе. Это позволяет увеличить темп преподавания и обучения. Вопросы более полного, глубокого и тщательного изучения тех или иных школьных математических дисциплин, отработки нужных взаимосвязей между ними, знакомства на конкретных материалах с вопросами становления и развития математических идей в историческом плане решаются довольно просто, так как для этого, в основном, нужны просто преподаватели, способные заинтересовать учащихся, разумно и методически продуманно совместно со школьниками изучить (я здесь не оговорился) выбранный учебный материал. Все математические курсы без исключений имеют свою специфику. Так, геометрия в десятом классе практически весь учебный год посвящена курсу планиметрии, которая в массовой школе заканчивается в девятом классе. Этот курс, конечно, включает в себя незначительный повторительный элемент и систематизацию полученных ранее знаний, но его главное содержание – расширение общего кругозора обучающихся и знакомства их с “геометрическими жемчужинами”, воспитание геометрического мышления.. Трехмерная геометрия изучается успешно нами за один год и также с добавлением важных тем, нацеленных на воспитание пространственного воображения и интуиции.⁸

При организации школьного курса математического анализа перед нами вообще не стоит вопроса (на который педагоги и методисты уже в течение многих лет “ищут” единственно возможный ответ): Нужно ли включать в учебную программу понятия производной и интеграла, то есть, нужно ли изучать начала дифференциального и интегрального исчислений и его приложений? Мы всегда строим свои курсы анализа довольно традиционно, но его изложение всегда делается доступным и наглядным, опираясь, во многом, на наблюдения, здравый смысл и интуицию. И наш опыт говорит о том, что “эти начала могут быть изложены в форме, в которой они совсем не воспринимаются как что-то более трудное, чем обычный, чисто алгебраический материал (А.Н. Колмогоров)”. Хотя при постановке этого курса у нас всегда и возникает много конкретных вопросов, но они чисто методического характера и мы можем много интересного рассказать преподавателям-математикам о способах их решения. Отличительными чертами этого курса является то, что специальный его раздел посвящен дифференциальным уравнениям, имеется в этом курсе и тема “Комплексный анализ”; иногда в рамках этого курса читался семестровый курс теории вероятностей и в довольно серьезном объеме⁹..

Алгебра, как учебный предмет в массовой средней школе, довольно далека от современной алгебры как науки, что вполне естественно, так как на самом деле в этом школьном курсе сильно переплетаются элементы трех математических дисциплин (“три великие А”, по выражению Ф. Клейна, - Арифметика, Алгебра, Анализ). Наш алгебраический курс, в основном, ориентирован не на теории и аксиоматику, а на конкретные ситуации, примеры и задачи (в рамках первых двух А). Конечно, на лекциях и семинарских занятиях доказываются теоремы, закладываются основы теорий, но все-таки лицо дисциплины определяют те конкретные задачи, которые выносятся на упражнения. Там, где это целесообразно, на типичных примерах рассматриваются различного рода общие алгебраические структуры. Комбинаторика, комплексные числа всегда включаются в курс. Определенное внимание уделяется задачам, лежащим на стыке алгебры и теории чисел, геометрии, математического анализа. Стержневой идеей курса, его стержневым понятием, является понятие уравнения¹⁰. Курс содержит значительные исторические экскурсы, приучает к вычислениям и преобразованиям, служит расширению “алгебраического” кругозора и повышает математическую культуру учащихся.

Основные курсы дополняют специальные курсы, семинары и факультативы. Их тематика очень разнообразна, год от года меняется и, как правило, отражает личные вкусы руководителя и его научные интересы. Большая часть таких курсов посвящена вопросам, дополняющих основные курсы, но бывает, что они имеют с ними мало точек соприкосновения. Выбор такого курса осуществляется школьником самостоятельно и сначала они “бегают с одного на другой”, пока окончательно не определятся¹¹.

Часто говорят, что одна из основных задач школы – научить школьников думать. Но это невозможно сделать без самих школьников, они должны этому сами учиться, причем упорно и долго. Поэтому, как мне кажется, задача школы – научить учиться думать. А это значит развивать способности учащихся грамотно использовать информацию, полученную в процессе обучения (от преподавателя, из книги, из журнала, от одноклассника), а также развивать определенные навыки и определенный склад ума. А этого можно достигнуть, наиболее эффективно, только при развитии умения решать задачи. Об этом очень эмоционально написал выдающийся математик и педагог Д. Пойа¹²: “Решение задач специфическое достижение разума, разум же – особый дар, которым наделен человек. Способность к преодолению препятствий, к нахождению обходного маневра там, где не видно прямого пути, возвышает умное животное над тупым, человека – над самым умным животным и талантливых людей – над другими людьми”. Что такое задача? Задача “представляет необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели”¹². Решение задачи и состоит в поиске этого средства. Для развития мышления единственно ясным, понятным и апробированным средством является его тренировка и какие-либо правила мышления, мотивы рассуждения почерпнуть человеку извне практически невозможно, их нужно “выработать так, чтобы они вошли в плоть и кровь и действовали с силой инстинкта”¹². Именно поэтому и нужно учить умениям решать задачи. Задачи человеку приходится решать всю свою жизнь и ежедневно. Простых задач не бывает, так как если у человека трудностей нет, то для него нет и задачи. Поэтому эпитеты “сложная”, “простая” применительно к задаче всегда носят субъективный характер. Понимание этого крайне важно в преподавательском деле, так как, оценивая сложность задачи преподаватель должен исходить не из своего опыта решения задач или каких - то сторонних методических рекомендаций, а из опыта решать задачи учащимися, которым он эти задачи желает предложить и которых учит сегодня. Обучение постановкам и решениям задач является важнейшей составной частью всех наших математических курсов, является целью и средством обучения математики в нашей школе и подготовки к обучению в вузе. Уместно здесь еще привести высказывание известного математика П. Халмоша: “Задача – сердце математики, и мы должны подчеркивать все более и более в классе, на семинарах, в книгах и статьях, которые мы пишем, чтобы наши ученики стали лучшими постановщиками и решателями задач, чем мы сами”. Решение задач – это та столбовая дорога в математику, шире которой нет и, видимо, другого способа привить интерес к математике и полюбить эту мудрую науку не существует. Идя по этой дороге, школьники учатся многому из того, с чем они встретятся в своей жизни, развивают свое общее развитие и повышают свои интеллектуальные возможности. Все наши школьники (за исключением немногих) будут использовать математику и ее методы в своей будущей профессии или вообще станут профессиональными математиками – исследователями. В частности, именно поэтому мы здесь говорим не только о решении задач, но и о постановках задач в ходе семинарских занятий как по инициативе преподавателей, а что более важно – по инициативе самих школьников. В научной и практической деятельности зачастую правильная постановка задачи гораздо важнее, чем ее последующее решение; да и не бывает никакого творчества без сформулированной перед собой цели (хотя, зачастую, расплывчатой и туманной).

Вся школьная жизнь пропитана решениями задач и их обсуждениями: обычные занятия, контрольные работы, коллоквиумы, зачеты и экзамены, олимпиады и конкурсы решения задач, кружки, собственные исследования школьников и т.д. Задачный материал подбирается и разрабатывается под руководством лектора и после его обсуждения формируются тематические списки задач (иногда крупные, чаще – не очень), часть из которых изучается на уроках, часть в ходе самостоятельной работы (такой системы придерживаются многие специализированные школы¹³). Списки “живые” – они зависят от многих обстоятельств, но главное, что они зависят напрямую от обучающихся. Иногда они отличаются в разных классах у одних у тех же преподавателей¹⁴⁾ и, тем самым, невозможно подготовить их раз и навсегда (хотя есть и некоторая неизменная часть). Тем более что сами программы меняются ежегодно, хотя и незначительно. Имитация творчества, и само творчество, возникает именно в процессе обучения решению задач, так как решение любой задачи учеником требует от него поискового рассуждения. Ясно, чтобы эти “творческие муки” школьников были результативными и полезными нужны такие подборки задач, которые нацелены именно на учебную инициативу учащегося. Только при этом условии можно реализовать принцип активного изучения (“метод Сократа”), смысл которого состоит в следующем: “Для того, чтобы изучение было наиболее эффективным, учащийся должен самостоятельно открыть настолько большую часть изучаемого материала, насколько это в данных обстоятельствах возможно”¹². Этот тезис перекликается с известным высказыванием Спенсера: “Что значит преподавать? – Это значит систематически побуждать учащихся к собственным открытиям”.

Суть наших списков задач состоит в том, что они содержат задачи трех типов: теоретические, тренировочные и требующие проведения пусть даже небольших исследований. В теоретической части решение ряда задач приводит школьника к доказательству теорем, свойств, неравенств, то есть эта часть задач нацелена на развитие навыков логики рассуждений, полноты аргументации, то есть на умение доказывать. Вторая часть, как правило, содержит различные применения установленных фактов из первой части. Последняя группа задач (она может состоять только из одной задачи) наиболее важна. Во-первых, она привязана к первым двум, а во-вторых, состоит из “многоходовых задач”, для решения которых приходится использовать не только те факты и конструкции, которым посвящен данный список задач, но и предыдущие и даже из других дисциплин.

Интерес движет всем, а наборы задач его определяют и, тем самым, теперь уже принцип активного обучения (невозможно отделить изучение от обучения) и его реализация ложится на сценариста – преподавателя дисциплины. У каждой подборки задач и упражнений имеется свой лейтмотив, который иногда выносится прямо в ее тематический заголовок, а чаще используется преподавателями в процессе обсуждений решений и при комментариях к ним. Вопросы к учащемуся начинаются с самой постановки задания (иногда, стоящего в его заголовке¹⁵). Основная цель работы над списком задач – каждому ученику получить приемлемый на него ответ; здесь следует подчеркнуть, что полнота этого ответа регулируется, в основном, самими учащимися, когда они выполняют, например, только часть задания или ленятся сходить в библиотеку. Совсем не обязательно, чтобы именно эти вопросы совпадали с заголовками самих списков задач, но в самом начале работы над ним цель ясно формулируется. Все учащиеся без исключений в моих классах¹⁶ должны сдать этот список задач на соответствующем коллоквиуме (на занятиях, на зачете), предъявив тетрадь с полными записями решений задач и доказательствами теорем. При этом, неукоснительным требованием является система оформления: четкие чертежи (выполненные циркулем и линейкой с применением различных цветов), полнота аргументации в решениях задач, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Если есть возможность проводить такие коллоквиумы за основной сеткой уроков, то мы проводим их там, а если ее нет, то они проводятся во время обязательных часов. Эта система довольно эффективна, так как на такой коллоквиум нужно прийти с тщательно продуманными и оформленными записями (что само по себе уже важно), не тратится время на подробный разбор домашних заданий в классе (при такой схеме – обычных домашних заданий просто нет), школьники привыкают к “писанию и чистописанию”, а индивидуальная беседа с учителем по решенным и нерешенным задачам приносит огромную и неоценимую пользу обучающемуся и преподавателю. Еще один важный плюс при такой схеме контроля состоит в том, что нет особой нужды в текущем опросе учащихся с выставлением оценки, что сильно экономит драгоценное время на текущих занятиях. Мнение о том, что для сдачи коллоквиума школьники занимаются списыванием друг у друга, не выдерживает серьезной критики, да мы и не препятствуем взаимным консультациям учащихся; опытный учитель всегда легко оценит качество изученного материала и практически всегда определит реальные источники написанных решений задач. Проблема домашних заданий, а точнее, их выполнения, проблема, к которой всем нужно очень серьезно относиться, а не только преподавателям математики. Простой подсчет показывает, что в семестр наши школьники только по основным математическим курсам должны решать около 500 задач, не считая задач на контрольных работах, на зачетах и экзаменах и др.. А это колоссальная нагрузка для учащихся, имеющих кроме математики еще много дисциплин и, следовательно, много домашних заданий.

Каковы же стимулы для изучения и обучения, которые возбуждали и побуждали бы к умственной активности при решении задач? Лучший внутренний ресурс на награду за умственные усилия – это удовлетворение и наслаждение, доставляемое такой работой, а также интерес к дальнейшему изучению (и обучению также) пока неизвестного материала, который неизбежно возникает после хорошо выполненной работы. Стимулом являются и оценки в школьном журнале, из которых “два” - это наихудший стимул (по моему мнению, в школах, подобной нашей, наказание за нежелание школьников учиться должен нести преподаватель, а не учащийся). Имеются в нашем арсенале и другие стимулы: школьные линейки и классные часы (помимо классных руководителей и воспитателей имеется еще и должность куратора класса), грамоты, экскурсионные поездки, тематические вечера, публикации и телепередачи и т.д. Старшеклассники и старшеклассницы, остаются детьми, они находятся в разноуровневой по умственному и физическому развитию интернатской среде и как бы они не пыжились и не воображали, все они любят, когда их хвалят и дарят “что-нибудь вкусненькое”. У преподавателя, как у “продавца математики неучам”, кроме безудержной и надоевшей рекламы своего “товара” должны быть припасены шутки, анекдоты, стихи, песни, сказки и много чего другого (то есть иметь в запасе “математические хиты”), он должен обладать хорошими мотивировками и аргументами, которые убеждают обучающихся в том, что без этого “товара” им не обойтись и … “впарить” его школьникам. “Втянуть в задачу” можно и чисто авантюрным путем - просто голосованием всего класса при угадывании ответа, так как поднятие руки уже обязывает и затрагивает авторитет и самолюбие ее поднявшего.

Сложнее с постановками задач, когда в них основную роль играют учащиеся, но когда это удается (у меня, сравнительно редко), то это является мощнейшим стимулом, который “держит” аудиторию довольно продолжительное время. Сложно еще и потому, что задач в методической литературе, около которых была бы написана аргументированная рекомендация, что их можно использовать в таком ключе очень мало¹². Часто такие возможности возникают неожиданно прямо на уроке и учитель должен уметь реагировать быстро, что напрямую зависит от его педагогического опыта и должного образования. В плановой подготовке к занятиям, преподаватель, конечно, должен заготовить такие задачи и тщательно продумать “режиссуру” для того, чтобы затем ее осуществить на уроках вместе со школьниками. Но зачастую, по таким заранее заготовленным задачам, это получается не очень хорошо, хотя внешне все и выглядит нормально: имеется диалог и даже активный, но его инициатором и ведущим является, в основном, учитель, а не ученик. Такой диалог (больше похожий на монолог) довольно быстро заканчивается, да и урок короткий.. Причина в том, что тут нет и не может быть коллективного куража, который возникает только при активной работе мысли большинства участников, а сама работа над постановкой задачи должна возникать естественным образом и непосредственно на том материале, который изучается в данный момент времени (быть может и рутинного характера). Чтобы вести такую работу на постоянной основе мы и стараемся при выдаче каждого нового списка обозначить его каким-то вопросом общего характера и желательно с неоднозначным ответом (ответами), чтобы “озадачить” всех учащихся надолго, постоянно к нему возвращаясь в процессе классной работы над всем списком задач. И мы не жалеем времени на эту процедуру, включая в нее головоломки и софизмы, исторические фрагменты, содержательные рассказы об общем замысле задания и различные другие “песни и пляски” вокруг него¹⁷.

Я использовал также многие домашние заготовки (специально подобранные для организации театрального действа “по постановке задач учащимися”), для которых черпал материал из широко известных первоклассных книг и различного рода научной и научно-популярной периодики. Из них можно отметить такие, удавшиеся мне, “математические этюды”: Теорема Пифагора – теорема Паппа – Теоремы Евклида (цель: естественные обобщения в различных направлениях одной классической теоремы); Замечательные точки и линии тетраэдра (цель: интуиция и аналогия); Графики квадратично-рациональных функций (цель: роль классификации); Индукция в геометрии (цели: новый материал, математика едина); Конечные геометрии (цель: аксиоматические построения) и т.п.

Нет, конечно, таких преподавателей, которые постоянно шутят и балагурят для реализации своих целей на уроках. Но важно то, что только просто понимание важности постоянного использования стимулирующего принципа не позволит включить в списки задач только рутинные задачи; для них (а они неизбежны в учебе) придется искать другие формы и приемы (например, “Кто быстрее сделает 10 задач?”). В список стимулов нужно внести и такие, быть может, неожиданные формы совместной работы преподавателей и учащихся: домашнее задание на каникулы, где первым пунктом является просьба написать стихотворение, рассказ, песню, юмореску, придумать анекдот по пройденному материалу или о каких-то моментах школьной жизни или, например, уроки в школьном саду (он у нас имеется и довольно большой)¹⁸. Более эффективным стимулом для изучения дисциплины в целом является включение в программы таких тем, о которых школьники вообще ничего не слышали; не раз отмечалось, что на таких уроках царит нормальная деловая атмосфера, интерес несомненен. Аудитория становится более ровной – резко сокращается деление на “передовиков и отстающих”, что крайне важно для обучающихся, которые зачастую “перестают махать на себя рукой” и побуждает поверить в собственные силы и возможности. Еще одним стимулом у нас является конкурс решения задач памяти основателя нашей школы, академика Андрея Николаевича Колмогорова. Ежемесячно участникам конкурса предлагается пять задач из различных разделов математики. Итоги конкурса подводятся один раз в год - в конце апреля. Принять участие в конкурсе можно в любой момент времени; при этом, совсем не обязательно представлять решения всех задач - можно также использовать задачи, предлагавшиеся и ранее¹⁹. Некоторые из задач конкурса становятся началом научных исследований и служат основой докладов учащихся на различных научных конференциях школьников.

Участие в работе научной конференции – также стимул и стимул огромный. Школьники, в них участвующие, - популярные у уважаемые личности, и это вполне заслуженно. Такие конференции становятся неотъемлемой частью совместной деятельности ли большинства специализированных школ и классов как у нас в стране, так и за рубежом. Наши учащиеся постоянно участвуют в школьных Чебышевских чтениях, Сахаровских чтениях, Харитоновских чтениях и, конечно, в Колмогоровских чтениях, а также в некоторых других конференциях. Международные школьные Колмогоровские чтения возникли по инициативе СУНЦ МГУ и в этом году прошли уже в шестой раз и в ней приняли участие около 130 учащихся по пяти секциям: секциям: математики, информатики, физики, химии, биологии (именно такие специализации обучения имеет школа им. А.Н. Колмогорова).

Нас радует, вдохновляет на работу в будущем и обнадеживает то, что научный уровень докладов достаточно заметно вырос, а число участников конференции значительно увеличилось. Победители конференции показали себя настоящими молодыми исследователями, могущими решать серьезные проблемы как теоретического, так и прикладного характера. Качество задач и их научный уровень, учитывающий возрастные и образовательные возможности, - это заслуга, в первую очередь, школьных учителей и привлеченных в школу ученых и преподавателей различных вузов, которые сумели не только правильно поставить задачи, но и смогли оказать в течение значительного времени поддержку в работе и обеспечить надлежащую консультационную помощь. Отличительной особенностью конференции в этом году явилась организация работы секции по методике профильного преподавания для учителей и руководителей делегаций, приехавших вместе с учащимися. Цель ее работы состояла, в частности, в обмене мнениями по совершенствованию и повышению уровня научно-исследовательской деятельности учащихся между теми преподавателями, кто уже руководит научной работой школьников.

Вообще вопрос об организации научно-исследовательской работы в школе – особый вопрос и вопрос непростой. Это всегда требует серьезного продумывания и является большой “головной болью” для научного руководителя (преподавателя) и для администрации школы (на поездки и деньги нужны). Так как профанацией такой деятельности мы не занимаемся в принципе, то это работа “штучная” и индивидуальная. В первую очередь нужны постановки разумных и посильных задач для исследований. А такие исследовательские темы может поставить и сформулировать только тот, кто сам активно работает в той или иной научной области или, по крайней мере, следит за научной периодикой. К счастью, на нашей кафедре математики такие люди имеются и как следствие этого – добротные доклады на конференциях²⁰. Учащиеся черпают исследовательские темы, в основном, участвуя в работе одного из специальных курсов, семинаров, кружков. В школе продолжительное время по пятницам работает научно-исследовательский семинар для учащихся, где ставятся исследовательские темы и задачи, и практически на каждом специальном курсе такие темы и конкретные задачи также ставятся. В течение двух последних лет дополнительно к нему начали работу два научно-исследовательских семинара (их заседания проходят в школе и на механико-математическом факультете МГУ), в которых вместе участвуют школьники, преподаватели школы и МГУ, а также студенты и аспиранты: “Дискретная математика” и “Научно-исследовательский семинар по элементарной математике”. Заседания этих семинаров дают возможность познакомится с различными направлениями современных исследований и почерпнуть конкретные задачи для совместной работы преподавателей со школьниками.

Стимулом для самостоятельного решения задач в рамках всего учебного процесса, и к обучению этому, является и участие в олимпиадах самого различного уровня. Победители также являются школьными кумирами и многим из наших учеников хотелось бы стать участниками заключительных этапов национальных и международных соревнований. И здесь мы с гордостью можем сказать, что за сорок лет существования школы на заключительных этапах Всесоюзной и Всероссийской олимпиад по математике наши школьники получили 27 дипломов первой степени , 60 - второй, 46 – третьей и 12 похвальных отзывов, а на Международных олимпиадах – 13 золотых медалей, 18 - серебряных и 10 - бронзовых ²¹. Однако, олимпиадные бойцы – люди особые и далеко не все школьники хотят и умеют решать задачи на время, и зачастую трудные. Таких людей нужно воспитывать и довольно продолжительный период, учить их широкому списку специфических методов решения задач²². Для этого в школе работает специальный семинар “Олимпиадные задачи”, который требует от его руководителей огромной и трудной профессиональной работы, изучения опыта и анализа задач олимпиад других стран, находиться в курсе публикаций во многих периодических изданиях и книгах, большого числа командировок и т.д. Более того, в последние годы эффективно работает “Летняя олимпиадная школа”, в которую приглашаются не только наши воспитанники, но и учащиеся из других московских школ и регионов. Тем самым, для такой огромной и серьезной работы нужны молодые и энергичные математики, из числа бывших олимпиадников, которые способны вести соответствующую работу со школьниками, причем работу почти не оплачиваемую²³. И такие энтузиасты в школе никогда не переводились.. Преподаватели школы всегда поддерживают и интересуются успехами наших олимпийцев, помогают им, чем могут, гордятся их успехами. Вместе с тем, мы призываем школьников очень осторожно относится к успехам на олимпиадах. Так в предисловии к одной из олимпиадных книг А.Н. Колмогоров, например, писал: “Участие в школьных математических кружках и олимпиадах может помочь каждому оценить свои собственные способности, серьезность и прочность своих увлечений математикой… Желая…всяческих успехов в решении задач и побед на школьных, городских, Всероссийских олимпиадах, я хочу в то же время заметить, что пути к серьезной работе в области математической науки разнообразны. Одним легче дается решение замысловатых задач, другие вначале не выделяются на этом поприще, но, двигаясь медленно, овладевают глубоко и серьезно теорией и несколько позднее научаются работать самостоятельно. В конечном счете, при выборе математики как предмета основных интересов и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться собственной самооценкой, а не числом премий и похвальных отзывов на олимпиадах…”. Сейчас количество самых разнообразных математических соревнований школьников, организуемых в Москве, и вообще в стране, на мой взгляд, превысило разумные границы и зачастую “необходимость участия в них” многих способных учащихся лишает возможности полноценно учиться..

Еще одним из важных стимулов для повышения активности и интереса к изучению математики в школе является так называемый математический практикум. В распространенном обычном понимании (применительно к математике) – это тренинг по решению задач и, как правило, нацеленный на подготовку к вступительным экзаменам в вузы. У нас подготовка к таким экзаменам не входит в систему практикумов. Говоря о математических экспериментах (различных заданиях практикумов), мы имеем также в виду не только те вопросы постановки математического образования, где соприкасаются (или сливаются) математика и информатика, но и просто о чертежах, расчетах, графиках, схемах, построении моделей, составлении таблиц и т.д. Кроме того, преследуются и более серьезные цели: привить вкус к конкретной, реальной математике, проиллюстрировать наиболее тонкие теоретические разделы курса, показать силу только что освоенных методов при решении практических задач. Задания практикума состоят из одной или нескольких ступеней: от очень конкретной до исследовательской. Начальная часть обязательна для всех учащихся, исследование – только для желающих; задания зачастую содержат темы творческого характера для проведения самостоятельных исследований. Довольно значительный промежуток времени в учебном плане школы был отдельный предмет (1970-1988), который так и назывался “Математический практикум” (и оценка за него заносилась в аттестат). При этом, был предусмотрен один лекционный час в основной сетке расписания (на изложение теоретического материала и постановку заданий) и время на консультации и прием заданий (за основной сеткой). Все задания для учащихся индивидуальны, что достигается выбором значений исходных параметров; правда, в тех случаях, когда работа велика, класс разбивается на группы. В семестр учащиеся выполняли 4-5 заданий. Во времена чрезмерного увлечения “гуманитаризацией средней школы”, введения в учебный план информатики вместо 12 часов в неделю на математику в сетке часов осталось только девять. На мой взгляд, это было серьезной ошибкой (и сейчас трудно исправимой) – в специализированной школе при МГУ такого уровня, с хорошими преподавателями, с хорошо организованными и согласованными курсами по естественным дисциплинам перенести изучение многих тем математических курсов за основную сетку занятий недопустимо. Уменьшение часов сказалось и на математическом практикуме. В настоящее время, к великому моему сожалению, только отдельные преподаватели уделяют ему должное внимание с теми же исходными методическими установками²⁰.

Это А.Н. Колмогоров, со всей настойчивостью, реализовал сначала в университете, а затем и в школе при МГУ такое нововведение в нашей стране. Он сам и руководил, поначалу, этими практикумами, сам придумывал новые постановки задач, используя, при этом, зачастую самые современные научные достижения.

Вставка (Арнольд)

Именно эта конкретная и вычислительная работа (плюс умелая и привлекательная постановка задач) при выполнении заданий математического практикума не на словах, а на деле показывает силу математических методов исследований в различных областях человеческой деятельности, осуществляет прикладную составляющую математического образования в школе и реализует межпредметные связи. Общие установки при создании математического практикума в школе А.Н. Колмогоров описывал так²⁵: “Часы математического практикума, проводящегося, в идеале, одновременно для всего потока (в школе имелся тогда только физико-математический профиль; классы делились на потоки – в них работала одна группа преподавателей математики – курсив автора статьи), используются частично для унификации требований к различным классам письменных работ, состоящих из серии задач обычного школьного типа. Но в основном эти часы отводятся для выполнения работ большого объема, требующих больших вычислений и чертежного оформления. Например, фактически осуществляется программа оценки числа Пи, после изучения в классе движения по циклоиде исследуются графически более сложные случаи сложения движений, находятся и изображаются графически системы дифференциальных уравнений последовательного радиоактивного распада… В проведении практикума участвуют преподаватели, работающие в классах, но отдельная небольшая группа преподавателей его организует и готовит для него материал”.

Я закончу эту работу довольно большими выдержками из воспоминаний профессора Московского университета В.М. Тихомирова, ученика А.Н. Колмогорова, где он делится своими воспоминаниями и размышлениями о целях и задачах математического образования и о той роли, которую играл его учитель при реализации реформаторских идей по пересмотру содержания математических дисциплин в средней школе в 60-70-х годах прошлого столетия. “По мнению Андрея Николаевича…, - пишет В.М. Тихомиров²⁶ – курс математики должен быть научным, строгим и современным. Далее, среди целей математического образования, должно быть…и присутствовать формирование научного мировоззрения. А.Н. Колмогоров писал, например: “Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общеобразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания”. В той же статье В.М. Тихомиров отмечает, что при обдумывании основных моментов изменения школьных программ по математике “Он был идеалистом. Не в философском или религиозном значении этого слова, а в своем взгляде на окружающий мир… Он видел людей и окружающую действительность как бы сквозь особые волшебные очки, в несравненно лучшем свете, чем оно было в реальности. … Андрей Николаевич полагал, что вообще мир населен людьми благородными, культурными, стремящимися к поиску истины – словом, похожими на него самого и на тех, с которыми он всю жизнь общался. И мне представляется, что, планируя будущую программу средней школы, он исходил из такого идеального образа советского школьника... Это была реформа для идеального государства…

Глядя на мир сквозь свои волшебные очки, Андрей Николаевич полагал, что едва ли не самым привлекательным и желанным видом человеческой деятельности для каждого является творческий труд, направленный на поиск истины. А потому, в частности, стремление к высшему образованию является естественным и безусловным для каждого молодого человека. Он много раз писал, что жизнь человеческая должна быть спланирована так, чтобы избранному виду творческой деятельности человек отдал максимум того, на что он способен”.

Мне представляется, что наша школа, школа научного творчества – школа им. академика А.Н. Колмогорова Специализированного Учебно - Научного Центра Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и является, в значительной мере, реализацией именно этих идей и мыслей об идеальных учащихся и их преподавателях, об идеальной школе в свободном государстве. Наша школа пронизана идеями ее основателя – великого учителя, патриота и гуманиста, они витают в воздухе, находят свои реализации в конкретных реализациях на лекциях, семинарских занятиях и многих публикациях научно-методического характера. Мы стараемся не потерять традиций, им и его последователями заложенными, и сделаем все возможное для того, чтобы рассказать о них широкой общественности.

Многое из того, о чем рассказано в этой статье не является откровением, но здесь важно иметь в виду, что описанной выше организации постановки математического образования мы реально придерживаемся в школе уже почти сорок пять лет и с полным основанием можем говорить об ее эффективности, путях возможного совершенствования и о нашей собственной технологии “Школа им. А.Н. Колмогорова” в трудном и увлекательном деле воспитания талантливой молодежи.

Примечания.

^* Школа имеет свой гимн, написанный Юлием Кимом в первые годы ее существования. В его припеве встречаются такие слова: “…Твои три кубика, О спецреспублика,…”. Этим и объясняется название этой статьи.

2) О ее научной составляющей можно узнать и составить впечатление из статьи: В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, Из опыта работы летней физико-математической школы при МГУ. // “Математика в школе”, №4, 1978. Полные материалы еще одной летней школы содержатся в замечательной книге: А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, Г.В.Пухова, О.С.Смирнова, С.В.Смирнов, Летняя школа на Рубском озере. Из опыта работы летней физико-математической школы. // М.: Просвещение, 1971.

Вышла также книга “Летняя школа СУНЦ МГУ” (-М.:ЛЕЛАНД, 2005), но сама эта школа была нацелена на работу с олимпиадниками, хотя на ней и происходил отбор для обучения в нашей школе.

3)С конкретными материалами устных и письменных экзаменов можно познакомиться в статье В.В. Вавилова, Т.Н. Трушаниной, Н.А. Шкаликовой “Экзаменационные рифы для будущих учащихся Московского университета” (Журнал “Математика в школе” , 5(1995)) и в книгах: “Варианты вступительных экзаменов в школу имени А.Н. Колмогорова” (Составители: Алфутова Н.Б., Загорский В.В., Корнеева Т.П., Смуров М.В., Устинов А.В. // -М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, “Самообразование”, 2000), “18´ 18.. Вступительные задачи ФМШ при МГУ” (Составители Алфутова Н.Б., Егоров Ю.Е., Устинов А.В. – М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, МЦНМО, 2006).

4) См. публикацию “Математическая биобиблиография школы”, цитированную в сноске 1. В ней рассказано об истории становления кафедры математики школы и перечислены большинство из тех преподавателей, кто на ней работал за всю ее более чем сорокалетнюю историю.

5) См. В.В.Вавилов, И.И. Мельников, В.В. Рождественский, Е.В. Панкратьев, Математический тренинг. //М.: Изд. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997. Сошлемся здесь еще на широко известные книги, посвященные задачам вступительных экзаменов в МГУ и написанные И.Н. Сергеевым, И.И.Мельниковым, Ю.П. Соловьевым и автором статьи, которые тесно связаны с “абитуриентской” деятельностью нашей школы. Вышла также книга М.В. Смурова и В.В. Рождественского “Минизадачник по геометрии” (М.: МГДД(Ю)Т, 2004.

6) Быть может, кто-то и не согласиться с такой короткой трактовкой, но, по крайней мере, не станет возражать против того, что эти составляющие важны, а при изучении математики и ее преподавании всегда присутствуют.

7) См. брошюры: Программы основных и аннотации специальных курсов (Под редакцией Д.Л. Абрарова, 1995 год, Под редакцией А.А. Часовских, 2002 год). -М.: Школа им. А.Н. Колмогорова.

8) Приведем примеры тем геометрических лекций, которые в разные годы мною читались: По следам теоремы Пифагора, Число Пи и неравенство Гюйгенса, Равносоставленность многоугольников, Задача Дидоны, Луночки Гиппократа, Формула Пика и задачи на клетчатой бумаге, Паркеты на плоскости, Орнаменты и кристаллографические группы, Группы преобразований, Аффинные и проективные плоскости, Инверсия, Модели плоскости Лобачевского, Теорема Эйлера о многогранниках, Гармошка Шварца, Объем тетраэдра и III проблема Д. Гильберта, Геометрия сфер, Тригонометрия на сфере.

Некоторые материалы опубликованы: В.В. Вавилов, Избранные лекции по геометрии.// Алматы, РНПЦ “Дарын”, 1999; В.Н.. Дубровский, Прямые и плоскости в пространстве. Лекции и задачи. –М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, “Самообразование”, 2000. См. также недавние статьи в научно-методической газете “Математика. 1 сентября”: В.В. Вавилов, П.М. Красников. Пифагоровы штаны, 17(2005); В.В. Вавилов, Медианы и средние линии треугольника, 1(2006); В.В. Вавилов, П. М. Красников, Разрезание и складывание многоугольников, 3(2006). Более полную библиографию см. в статье, указанной в сноске 1.

9) Из опубликованных материалов – это избранные лекции А.Н. Колмогорова, В.М. Алексеева, А.А. Егорова, А.Н. Землякова, О.С. Иваева-Мусатова, Ю.В. Нестеренко, А.В. Карапетяна, Е.М. Щепина и др. Точные ссылки см. в работах из ссылки 1. Расширенный вариант курса теории вероятностей содержится в книге: А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров, Введение в теорию вероятностей. // М.: Наука, 1982, - 238 с. (Серия: Библиотечка “Квант”, вып.23).

10) Составить достаточно полное представление о содержании курса алгебры можно по двум статьям А.Н. Землякова “Тезисы по алгебре”, опубликованные в журналах “Математическое образование” (4(15) в 2000 г. и 1(16) в 2001 г.) и по двум книгам: В.В. Колосов, Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. //М.: Гелиос АРВ, 2001.. и Н.Б. Алфутова, А. В. Устинов, Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. //М.: МЦНМО, 2002.

Сейчас готовиться к публикации в издательстве МЦНМО еще книга С. Б. Гашкова, написанная на основе лекций по курсу алгебры в школе.

11) Не претендуя на полноту, приведем некоторые темы этих курсов (получившие одобрение преподавателей и учащихся), которые скажут сами за себя. Это: Олимпиадные задачи, Задачник журнала “Квант”, Симметрия многогранников, Теорема Абеля, Конечные поля и конечные геометрии, Геометрия Лобачевского, Теория Галуа, Элементы математической логики, Элементы теории вероятностей и математической статистики, Экстремальные задачи, Введение в кибернетику, Теория колебаний, Элементы теории чисел, История математики, Теоремы Геделя, Группы и графы, Введение в топологию, Комплексный анализ, Бильярды, Высшая математика с точки зрения элементарной, Кривые на плоскости, Что такое фрактал?, Геометрический кружок, Дополнительные главы анализа и их приложения в динамике, Введение в теорию динамических систем, Динамическая геометрия и геометрическая динамика, Сложность булевских функций, Алгебра и теория чисел, Математическая логика, Дополнительные главы анализа и алгебры, Задачи на клетчатой бумаге, Элементарная математика, Математический семинар и многие другие кружки, семинары, спецкурсы (иногда, “просто по случаю”).

Некоторые материалы этих спецкурсов и факультативов широко опубликованы. См., например, следующие книги: В.Б. Алексеев “Теорема Абеля в задачах и решениях” (М.: Наука, 1976); Г.А. Гальперин, А.Н. Земляков “Математические бильярды” (М.: Наука, 1990); А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.Ф. Дорофеев, А.А. Егоров, А.Н. Земляков, А.Г. Мордкович, Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс. (М.: Просвещение, 1980.-191с.); В.В. Вавилов, В..А. Бахтина “Специальные курсы по математике” (М.: Изд-во Факториал, 1996. -66с.); С.Б..Гашков, В.Н. Чубариков “Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений” (М.: Высшая школа, 2000. -320с.). В ближайшее время в издательстве МЦНМО выходит в свет книга В.В. Вавилова и А.В. Устинова “Многоугольники на решетках”, написанная на основе специального курса, прочитанного не так давно в школе первым из ее авторов.

12) В среде преподавателей математики специализированных школ книга Джорджа Пойа “Математическое открытие” (М.: Наука, 1976 г.), откуда и взяты выдержки, пользуется популярностью, наряду с тремя другими его книгами, переведенными на русский язык: “Как решать задачу?” (М.: Учпедгиз, 1959 г.), “Математика и правдоподобные рассуждения” (М.: Наука, 1975) и “Задачи и теоремы из анализа. Т.1,2” (написана совместно с Г. Сеге, //М.: Наука, 1978).

13) Из опубликованных материалов последних лет, отвечающих этой схеме, отмечу следующие: Статьи А.Л. Городенцева “Математический анализ, 9 класс” в журнале “Математическое образование” в №1, 1997г. №2(13), 2000 г, статью М. Беденко “Как выучить на творца” в том же журнале в №2-3(9-10) в 1999 г., книгу С.В. Еременко, А.М. Сохета, В. Г. Ушакова “Элементы геометрии в задачах” (М.: МЦНМО,2003 г.).

Конкретные материалы по трем нашим коллоквиумам см. в статье автора “О стандарте математического образования в школе им. А.Н. Колмогорова” в книге: Труды третьих Колмогоровских чтений. – Ярославль, 2005. Сейчас на таком материале и на базе нашей школы готовится к защите диссертация П.М. Красникова на соискание кандидата педагогических наук.

14) Мне сложно поверить в искренность намерений чиновников от образования в их работе по совершенствованию школьного математического образования, когда ими уменьшаются часы на изучение математики, когда явно присутствует их стремление к унификации всего на свете в школьной и студенческой жизни, поддерживается разработка и издание всякого рода типовых “математических тетрадей”, “дидактических материалов” и пр. Тем самым, в приказном порядке большая часть учащихся (вместе с их преподавателями) загоняется в построенные министерством ряды, далеких от стремления к творчеству граждан с плохим среднем образованием, и с переходом, многих из них, затем в стройные шеренги уже других министерств и ведомств.

15) Приведу некоторые из таких “вопросиков”, которые имеются в арсенале у меня “Сколько доказательств у теоремы Пифагора?”, “Можно ли разрезать треугольник на части, из которых сложится квадрат?”, “Как определить длину периода у бесконечной десятичной периодической дроби?”, “Есть ли простая формула для вычисления площади многоугольника?”, “Какой способ шнуровки ботинок более выгоден?”, “Права ли царевна Дидона?”, “Почему алгоритм Евклида такой многоликий?”, “Мы играем (!?) на гармошке… Шварца”, “Как считать, чтобы не считать?”, “Противные доказательства или как?”, “Что такое элементарная функция?”, “Где же индукция?”, “Какие возможности у паркетчика?”, “Пятая операция. Конец беспределу?”, “Как бороться с модулями?”, “Геометрия масс. Точка опоры в планиметрии?”, “Векторы. Куда поедет телега?”, “Как нарисовать правильный тетраэдр?”, “Площадь под гиперболой. Причем здесь логарифмы?”, “Две прогрессии. Каковы их спутники?”, “Каковы дискретные аналоги анализа?”, “Жизнь замечательных точек треугольника. Кто биографы?”, “Равенство тетраэдров. Сколько признаков?”, “Какая теорема анализа важней?”, “Что, как и зачем мы дифференцируем?” и др.

16) Такой методики придерживаются не все преподаватели нашей школы. Так как для этого требуются желание, трудолюбие, терпение и большие временные затраты. Намного проще: 5 -7 задач в классе, столько же – на дом, разбор домашнего задания, 5 – 7 задач в классе, …

17) Из тех задач, а точнее вопросов, которые возникали у школьников прямо на уроках в этом учебном году и которые были потом интересны многим школьникам (и преподавателю также, что немаловажно) мне хотелось бы выделить такие:

1.При изучении темы, связанной с представлением рациональных чисел бесконечной периодической десятичной дробью и при решении одной совсем уж конкретной задачи, появился вопрос о том, как найти минимальный знаменатель рациональной дроби, которая внутри периода своего десятичного представлении содержит заданную комбинацию цифр. Полного ответа на него пока нет, но исследования до сих пор продолжаются, и это чрезвычайно меня радует.

2. После одной из лекций по математическому анализу, на которой обсуждался контрпример Шварца к одному из казалось бы разумных подходов к определению площади поверхности цилиндра, появилось несколько вопросов: “Имеется ли аналоги такого контрпримера для шара и других поверхностей? Что же такое площадь поверхности и как ее вычислять приближенно?”. Ответы в науке известны, частично были получены самими школьниками при выполнении затем специально составленного списка задач. И я уверен, что после этих занятий, возникших по инициативе самих школьников, этот “Сапог Шварца” они запомнят навсегда.

3. В списке задач, посвященных применению принципа математической индукции в геометрии (планиметрии) была важная задача о том, что любой простой многоугольник имеет, по крайней мере одну внутреннюю диагональ. Было дано три различных доказательства этого утверждения. Затем этот факт многократно использовался и, в частности, при доказательстве формулы Пика для вычисления площадей многоугольников, расположенных на клетчатой бумаге. Желание получить аналог этой формулы для многогранников в пространстве с прямым использованием схемы доказательства в плоском случае, привело некоторых учащихся к попыткам установить утверждение о внутренней диагонали для многогранников. Они оказались бесплодными, появились контрпримеры, которые привели затем к проблеме (до сих пор не решенной) описания многогранников, которые не имеют внутренних диагоналей. И я надеюсь, что при систематическом изучении стереометрии в будущем учебном году мы к этой проблематике еще вернемся.

4. Когда изучались правила дифференцирования функций (что довольно скучно) речь зашла о геометрической иллюстрации правила дифференцирования сложной функции. Во-первых, сам этот вопрос из уст учеников радует, а главное, что по итогам “рисования” родилось доказательство этого правила (к сожалению, у меня, а не у школьников), которое по-видимому в методическом плане является новым.

5. Любопытный “детский” вопрос широкого плана возник, когда рассматривался принцип математической индукции в целом. Какие принципы вообще имеются в математических рассуждениях? Ответ на него закончился рассказами о многих важнейших математических принципах и разработкой специальных списков задач, им посвященных (см. выше) и, в основном, геометрического содержания.

6. На одной лекции из спецкурса меня спросили о периодических функциях двух переменных. Мне стоило больших усилий затем подготовить две “школьные” лекции и рассказать о таких периодических функциях в комплексном анализе, которые возникают там не простой заменой вещественной переменной на комплексную, а присущи именно ей.

18) Достаточно видеть горящие глаза школьников на подведении итогов (с пирогами) этих заданий, которые просто кричат об удовольствии. Тихое же чтение дома рассказывает преподавателю и о том, о чем он раньше и догадаться не мог.

Отметим, что в нашей футбольно-математической школе (от ФМШ) литературное творчество довольно популярно; см., например, следующие литературные сборники: “Есть ФМШ…” (М.: Изд-во МГУ, 1995); “Три кубика: Кубик 1”, “Три кубика: Кубик 2”, “Три кубика: Кубик 3” (М.: “Самиздат И. Коровина”, 1997). Недавно на выпускном вечере каждый школьник моих классов получил на память самиздатовскую книжку “Классная летопись”, куда ее составители – все преподаватели математики в этих классах – поместили стихи, рассказы, написанные школьниками за весь период обучения в нашей школе, а также и значительное количество специально подобранных фотографий.

19) Задачи этого конкурса за последние годы широко опубликованы и пользуются популярностью у любителей решать трудные задачи. См. публикации автора статьи “Конкурс решения задач памяти А.Н. Колмогорова в научно-методической газете “Математика. 1 сентября” в №№ 23,24(2005), 1(2006) и “Математический калейдоскоп” в журнале “Математическое образование”, 4(35),2006.

20) Довольно подробные отчеты об участии наших учащихся содержится в моих статьях “Школьные Харитоновские чтения” в газете “Математика. 1 сентября” (№ 18 за 2004 год; № за 2006 год – совм. С И.Ю.Селивановой)).

В качестве примеров приведу несколько тем исследований и докладов на конференциях моих бывших и сегодняшних учеников, сделанных на школьных Колмогоровских и Харитоновских чтениях. Т. Лепский уточнил расположение числа е на интервале ((1+1/n)n;(1+1/n)n+1). Д. Туляков исследовал конфигурации из 60 паскалевых прямых шестиугольника, получив целый ряд совершенно неожиданных результатов. Ю. Гиматов успешно справился с одной трудной логической задачей П. Эрдеша из теории чисел, в формулировке которой требовалось найти некоторое число по диалогу между двумя людьми, и рассмотрел ряд модификаций этой задачи. Ю. Хашин исследовал итерационный метод секущих и касательных Ньютона для алгебраических уравнений и получил любопытные дополнения к известной теореме Шарковского. А. Хоренко в одном докладе досконально исследовал свойства площадей клеток “косоугольной шахматной доски”, установив взаимосвязи с дискретными гармоническими функциями на плоскости , а во втором – получил необходимое и достаточное условие для сходимости итерации экспонент. Д. Веселин исследовал свойства дискретных гармонических функций и не только получил ряд аналогов из классической теории потенциала, но и обнаружил эффекты, которых там нет. Е. Мычка и И. Седошкин установили, что на правильных паркетах можно расположить (вершины в узлах) только те правильные многоугольники, которые видны “невооруженным взглядом”. Н. Однобоков в одном из своих многочисленных докладов установил, что на любом из одиннадцати правильных паркетов существует окружность, которая проходит через заданное число узлов. А. Колчин в довольно общей ситуации, близкой к реальной, для таблицы итогов теннисного турнира установил формулы для числа нетипичных троек игроков (когда “слабый выигрывает у сильного”). А. Бекларян в одной из своих работ решил очень старую задачу о площади “медианного четырехугольника” произвольного выпуклого четырехугольника и затем значительно обобщил полученный результат. А. Драль изучил вопрос о средней высоте цепной дроби. Е. Осаковская и Е. Филоненко построили и обосновали алгоритмы нахождения правильных многоугольников с вершинами в окрестностях узлов клетчатой бумаги. С.Воинов и А. Горяева показали, что на сфере существует ровно 18 различных правильных паркетов (футбольных мячей). Е.Падюкова и И. Субботин получили довольно неожиданные характеристические свойства медиан и средних линий треугольника. Е. Падюкова сравнила скорости сходимости в классических приближенных формулах Архимеда, Гюйгенса и Чебышева для приближенного вычисления длины окружности. К. Джигарджян изучил расположение на комплексной плоскости корней многочленов (и их производных), являющихся конечными подсуммами геометрического ряда и установил целый ряд теорем о структуре соответствующих фрактальных множеств и замыканий их объединений. Ю.. Демидова получила обобщение теоремы Гаусса о расположении корней производной многочлена на аналитические функции в областях и с постоянным модулем на границе. А. Паунов и В. Петкиева нашли множество точек плоскости (пространства), где могут находиться вершины треугольника (ортоцентрического тетраэдра), при заданном ортоцентре и центре описанной окружности (сферы).

21) См. приложение “Олимпийский пьедестал” в книге, указанной в ссылке 14.

22) Некоторые итоги такой работы опубликованы в моей книге “Задачи отборочных математических олимпиад” (М.: Издательство МГУ, 1992. -62с.) и отражены в информационно-обучающей компьютерной системе “IMO – INFO SYSTEM” (М.: Издательство МГУ, 1992.; авторы: В.В. Вавилов, А.В. Назаренко, Д.А. Кузьмичев).

23) Это не общие соображения. В течение многих лет автор являлся зам. председателя методической комиссии по математике Всесоюзной олимпиады (председатель – А.Н. Колмогорова, которого затем сменил Б.В. Гнеденко), 7 лет готовил команду страны для участия в Международных олимпиадах и был ее научным руководителем, был одним из инициаторов проведения, 33-й Международной олимпиады в Москве и впоследствии зам. председателя ее оргкомитета. Ряд лет руководил работой семинара “Олимпиадные задачи”, работавшего в школе и на механико-математическом факультете МГУ.

О работе летней олимпиадной школы см. книгу “Летняя школа СУНЦ МГУ” (-М.: ЛЕЛАНД, 2005). Она составлена при участии многих преподавателей этой школы и в ней содержатся материалы по математике (она была двухпредметной: по математике и информатике), которые на ней использовались.

24) Более полное и точное представление о практикуме можно получить из двух книг: А.Н. Колмогоров, В.В. Вавилов, И.Т. Тропин, Физико-математическая школа при МГУ.. // М.: Знание, 1981. (Новое в жизни, науке, технике. Серия: Математика и кибернетика, № 5); В.В.Вавилов, Школа математического творчества.//М.: РОХОС, 2004. См. также обширную статью “Математический практикум в школе им. А.Н. Колмогорова” в книге “Труды вторых Колмогоровских чтений”. –Ярославль, 2004. В библиографиях к этим публикациям содержатся дальнейшие ссылки на работы, в которых содержатся полные описания тематики самих заданий, их постановка и образцы выполнения, и другие подробности методического характера. Сейчас готовится к изданию книга автора, в которой собраны практически все задания практикумов, которые проводились в нашей школе за все время ее существования.

Примерами заданий могут служить такие: Приближенное вычисление корней уравнений. Две задачи линейного программирования. Итерации. Номограммы. Конечные поля и латинские квадраты. Фигуры Лиссажу. Круговые циклоиды. Эволюты циклоидальных кривых. Пучок кривых второго порядка. Орнаменты. Группы самосовмещений плоских фигур. Круговые преобразования плоскости. Навигация. Конечные аффинные и проективные плоскости и пространства. Космические поезда. Диаграммы касательных. Прыгающий мячик. Фазовые портреты. Полет диска в сопротивляющейся среде. Профили собственных колебаний натянутой нити с бусинками. Расположение комплексных корней многочлена. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Области однолистности многочленов. Фракталы. Доска Гальтона. Модель размножения и гибели.. Случайные блуждания. Датчики случайных чисел. Криптография и расшифровка текстов.

Отметим также, что некоторые методические материалы практикумов использованы при подготовке Образовательного комплекса “Математика 5-11”. (–М.: ЗАО “1С”, АНО “Учебно-издательский центр “Интерактивная линия”, Учреждение “Институт новых технологий”, 2004).

25) См. А.Н. Колмогоров, В.А. Гусев, А.Б. Сосинский, А.А. Шершевский, Курс математики для физико-математических школ.//М.: Изд-во МГУ, 1971.

26) В.М. Тихомиров, Гений, живший среди нас.// В книге “Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. (Составитель Н.Х. Розов, Под общей редакцией В.М. Тихомирова). // М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.