Об одной теореме Адамара

В статье содержатся некоторые отдельные фрагменты из моих автобиографических заметок. Для понимания текста отмечу, что начиная с 1968 года и по настоящее время я работаю в школе им. А.Н. Колмогорова (раньше она называлась специализированной физико-математической школой-интернатом №18 при МГУ) и на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Поэтому в тексте ниже эти две линии моей деятельности значительно переплетаются. Андрей Николаевич Колмогоров был одним из основателей школы, долгое время там не только читал лекции, вел семинарские занятия, но также устраивал музыкально-литературные вечера, ходил с детьми в туристические походы и пр. и вообще «полнокровно жил своей школой». Отбор преподавателей математики в школу, в основном, проходил из числа студентов, аспирантов и преподавателей механико-математического факультета МГУ, в котором лично участвовал А.Н. Колмогоров. Большинство преподавателей математики школы «сидели на двух стульях» (в школе и на механико-математическом факультете), постоянно чувствуя неподдельный интерес и внимание Андрея Николаевича к их личным, научным и преподавательским делам. Сама эта школа – явление уникальное, позволяющая реально и эффективно осуществить идею непрерывного математического образования и поэтому в статье часто упоминаются имена выпускников школы. О школе более подробно можно узнать, например, из двух книг: А.Н. Колмогоров, И.Т. Тропин, В.В. Вавилов, Физико-математическая школа при МГУ. –М.: Знание, 1981; В.В. Вавилов, Школа математического творчества. –М.: РОХОС, 2004.

… Кандидатскую диссертацию я написал под руководством Андрея Александровича Гончара, ныне академика РАН, и она была посвящена исследованию сходимости некоторых последовательностей аппроксимаций Паде (специального вида функциональных непрерывных дробей); защищена она была в 1977 году. Вообще в аспирантуре отделения математики МГУ им. М.В. Ломоносова я числился у члена корр. АН СССР Сергея Никитича Мергеляна, которому в двадцать лет при защите им кандидатской диссертации ученым советом была присуждена степень доктора наук. Сейчас без фундаментальной теоремы Мергеляна из области теории приближений аналитических функций многочленами (и составляющей указанную диссертацию, написанную на небольшом числе страниц) не обходится ни одна книга и ни один курс лекций по соответствующей тематике. Он блестяще читал курс теории функций комплексного переменного, а особенно меня поразил его спецкурс по квазианалитическим классам функций. Одновременно с этим спецкурсом я слушал спецкурс А.А. Гончара со скромным названием «Некоторые вопросы теории приближений», но очень глубоким по содержанию и участвовал в работе семинара А.А. Гончара и А.Г. Витушкина «по аналитической емкости». Случайно получилось (а может и не очень, так как Мергелян и Гончар были дружны и, кроме того, работали вместе как в МГУ, так и в отделе комплексного переменного в математическом институте им. В.А. Стеклова, который возглавлял Мергелян), что свою дипломную работу я выполнил, идя по следам докторской диссертации А.А.Гончара по теории приближений непрерывных функций гармоническими; у меня в качестве приближающего аппарата были потенциалы и задача стояла о приближении функций с особенностями. Эту дипломную работу я рассказывал на «большом семинаре» в математическом институте им. В.А. Стеклова и там же мне было предложено продолжить эти исследования (особенно, настаивал на этом Витушкин А.Г.). Довольно скоро С.Н. Мергелян переехал из Москвы в Ереван, я к нему несколько раз летал на консультации, но, конечно, долго это продолжаться не могло; он был далек от моих задач и они его интересовали мало. А. Н. Колмогоров очень ценил некоторые работы А.А. Гончара по теории приближений аналитических функций рациональными, включил его результаты в работу их совместного семинара для студентов II курса в 1954/55 году (Гончар тогда был аспирантом); в одном из своих интервью о молодых талантах для «Комсомольской правды» он особенно отмечал эти работы А.А. Гончара. А.Н. Колмогоров знал о необходимости смены у меня научного руководителя в аспирантуре (возможно от П. С. Александрова, который заведовал тогда аспирантурой, а, быть может, и от меня, так как я тогда уже работал в школе-интернате при МГУ). Поэтому он мне предложил или быстро оформить то, что уже есть (я это не сделал; впоследствии, через десять лет, эта тематика перешла к моей аспирантке) или проситься в аспиранты к А.А. Гончару. В конце концов, он сам ему позвонил, и я стал аспирантом А.А. Гончара, который вместе с созданной им научной школой делали свои первые шаги в изучении теории непрерывных дробей и аппроксимаций Паде, что было для меня совсем новым направлением исследований. Сама конструкция аппроксимаций Паде однозначно определяется только тейлоровскими коэффициентами степенного ряда (являясь наилучшими локальными чебышевскими приближениями) и поэтому под пристальным вниманием находились те теоремы из теории аналитического продолжения функций, в формулировках которых участвовали коэффициенты степенных рядов. Первые шаги были сделаны О. Коши, когда он нашел формулу для радиуса сходимости степенного ряда и опубликовал ее доказательство в своем широко известном курсе анализа (отличие от современной формулировки состояло в том, что он не пользовался понятием и обозначениям для верхнего предела последовательности). Но весь математический мир называет формулу не «формулой Коши», а «формулой Коши-Адамара». При чем здесь Жак Адамар? Пришлось ознакомиться не только с одной из самых первых работ Жака Адамара, в которой он уточнил указанную формулу Коши, подключив понятие верхнего предела последовательности, но и его многостраничную докторскую диссертацию (с единственной теоремой), которую он защитил в 27 лет, где он получил формулы для радиусов кругов мероморфности, куда этот степенной ряд допускает нужное продолжение.

Именно, эти замечательные формулы, как мне кажется, произвели на математиков сильное впечатление, которое и определило принятое сейчас именование формулы для радиуса круга голоморфности D₀(f), которому отвечает случай m = 0 в формулах Адамара (а не за «верхний предел», как это принято писать в текстах по истории развития математики).

Оказалось также, что по - существу, Ж. Адамар в своей работе использует свойства знаменателей аппроксимаций Паде (первая работа Анри Паде об рациональных аппроксимациях вышла в том же 1892-м году, когда Ж. Адамар защищал диссертацию, они были примерно одного возраста, но нет полной уверенности в том, что Адамар был знаком с конструкцией Паде).

Так как число неизвестных в этой линейной системе уравнений равно m+1, а число уравнений равно m, то всегда существует нетривиальное решение (b_m, …, b₁, b₀) этой системы. Тем самым, существует такой многочлен q, что q не равен 0, deg q ≤ m и для которого все коэффициенты при степенях zⁿ⁺¹, zⁿ⁺², …,z^n+m в степенном разложении qf равны нулю. Выберем любой такой многочлен q и положим

p(z)=сумма по k (от k=0 до k=n) (f_k-mb_m+...+f_kb₀)z^k.

Ясно, что найденная таким образом пара многочленов (p,q) удовлетворяет обоим соотношениям i) и ii) и, конечно, не является единственным решением поставленной задачи. Однако, отношение p/q, где (p,q) – любая пара многочленов, удовлетворяющая i) и ii), для заданных чисел n и m определяет единственную рациональную функцию. В самом деле, предположим, что (p,q) и (p^*,q^*) удовлетворяют указанным выше условиям. Тогда, в частности,

(qf - p)(z) = A z^n+m+1 + …

и

(q^*f - p^*(z) = A^* z^n+m+1 +…

Отсюда следует, что

(qp^* - pq^*)(z) = B z^n+m+1 + …

В этом равенстве слева стоит многочлен степени не выше n+m и поэтому qp^* = pq^*. Таким образом, любая пара многочленов, удовлетворяющая i) и ii), порождает единственную рациональную функцию.

Определение. Пусть n,m >= 0 – целые числа. Аппроксимацией Паде типа (n,m) функции f (ряда (1)) называется рациональная функция p_n,m = p/q, где (p,q) – любая пара многочленов, удовлетворяющая обоим соотношениям i) и ii). Таблица рациональных функций {p_n,m}, где n, m = 0,1,2, …, называется таблицей Паде функции f (степенного ряда).

Таблицу Паде (однозначно определяемую рядом) удобно интерпретировать геометрически, поставив каждой допустимой точке (n,m) целочисленной решетки аппроксимацию Паде типа (n,m). Ниже мы будем рассматривать (если не оговорено противное) только строки таблицы Паде, т.е. последовательности вида

{p_n,m}, n = 0,1,2, … и m >= 0 – фиксировано.

При фиксированных n и m положим p_n,m = p_n,m/q_n,m , где многочлены p_n,m и q_n,m не имеют общих множителей.

Отметим, что нулевая строка таблицы Паде (m = 0) состоит из частичных сумм степенного ряда и тем самым теория аналитических функций – это теория о нулевой строке этой таблицы.

Монтессу де Боллор, один из учеников и последователей Ж. Адамара, в работе 1902 года установил важную теорему о равномерной сходимости строк таблицы Паде: см. Montessus de Ballore, Sur les fractions continues algebriques. -Bull.Soc. Math. France, v.30, 1902, p.28-36.

Теорема Монтессу де Боллора. Пусть функция f, голоморфная в точке z = 0, задана степенным рядом и натуральное фиксированное число m таково, что круг D_m(f) содержит ровно m полюсов с учетом кратностей. Тогда

1⁰. При всех достаточно больших n многочлены q_n,m(z), n = 0,1,2,…., имеют степень m; при n -> oo каждый полюс функции f «притягивает» столько полюсов аппроксимаций Паде (нулей q_n,m (z)), какова его кратность.

2⁰. Последовательность {p_n,m}, n = 0,1,2, …, равномерно сходится к функции f внутри (на компактных подмножествах) области D_m’(f), полученной из D_m(f) удалением полюсов функции f.

Было замечено, что эта классическая теорема Монтессу де Боллора позволяет в одном специальном случае очень просто доказать формулы Адамара и появилась сначала надежда, а уж потом появилась возможность найти более простое доказательство результата Адамара. Указанная возможность была реализована благодаря тому, что к этому моменту подоспело важное наблюдение А.А. Гончара о том, что в теории сходимости рациональных функций не всегда целесообразно стремиться сразу доказать нужную (и желаемую) равномерную сходимость, а достаточно сначала доказать сходимость в некотором слабом смысле (по мере Хаусдорфа, по емкости и т.п.), то есть использовать так называемый «принцип изобретателя» (более сложные планы могут иметь больше шансов на успех). Тут все и склеилось в очень короткое доказательство формул Адамара. Но интересно, что одну лемму из диссертации Адамара обойти не удалось (конечно, специального стремления к этому не было, но просто было интересно совсем «переиначить» доказательство Адамара). Эта лемма относится к свойствам пределов числовых последовательностей и довольно хитроумна в доказательстве; когда я занимался проведением Всесоюзных студенческих математических олимпиад мы включили ее в качестве одной из задач на заключительном туре – результат был плачевным. Кстати сказать, теоремы Монтессу де Боллора и Ж. Адамара я как-то включал в обязательный курс лекций для студентов мехмата МГУ по комплексному анализу. Результат на экзаменах был показан неудовлетворительный, так как даже хорошие студенты не проявили заметного интереса к этим новшествам, а преподаватели кафедры так и не смогли услышать на экзамене полноценные доказательства этих теорем и их обсуждений. По этому поводу был специальный разговор с П.Л. Ульяновым и мне пришлось выбросить эту тему из лекций. (Через год я снова получил взбучку от Ульянова за то, что включил в основной курс уже несколько классических результатов из теории функций многих комплексных переменных, так как резко понизил успеваемость студентов по читаемым кафедрой курсам).

… Андрей Николаевич Колмогоров организовал защиту моей диссертации «О сходимости аппроксимаций Паде мероморфных функций» и заседание ученого совета (он был его председателем) так, чтобы на нем защищались его непосредственный ученик А.В. Булинский и я – «его человек из интерната, завуч по математике». Интересно отметить, что доску в аудитории 1610 на мехмате МГУ, где проходили эти защиты разделили на две части и «на моей половине» была крупно написана только одна формула f(z) = Sf_nzⁿ, нарисованы концентрические круги (мероморфности) и написано четыре вопроса (Что приближаем?) Чем приближаем? Как приближаем? Зачем приближаем?), а «на половине Булинского» все было исписано большим количеством определений и формулировок теорем и им были еще дополнительно повешены несколько плакатов (тогда еще не было имеющихся сейчас технических возможностей). Это был очень резкий контраст, так как я, в основном «рисовал» и давал пояснения. Кроме оппонентов выступал и председатель совета, спросив сначала у секретаря во сколько раз диссертация одного толще диссертации другого, а потом отметил, что схема построения выступления у меня лучше и эффектнее. Я обсуждал с А.Н. Колмогоровым некоторые из результатов диссертации у него на даче в Комаровке, когда просил представить свою работу в Доклады Академии Наук, что он и сделал, но после подробного разговора по существу (см. «Об особых точках мероморфной функции, заданной своим степенным рядом», ДАН ССР, т.231, №6,1976). Он мало был знаком с современным состоянием исследований по этой тематике и во время разговора в Комаровке сильно оживился лишь тогда, когда понял, что теорема Фабри об отношении (которая обобщалась в работе) являются теоремой обратного типа в теории рациональных аппроксимаций - то есть, когда по поведению особенностей приближающего аппарата можно судить об аналитическом продолжении (вообще говоря, формального) степенного ряда и наличии у его суммы особых точек.

Итальянский математик Е. Фабри в 1898 году доказал, что если для коэффициентов ряда (1) справедливо соотношение

f_n / f_n+1 -> α при n -> oo (α не равно 0)

то точка z = α – особая точка суммы этого ряда (очевидно, что R₀(f) = |α|). Эта теорема, как легко заметить, является теоремой о первой строке таблицы аппроксимаций Паде функции f (степенного ряда), т.к. q_n,(z) = f_n+1 z - f_n , n = 0,1,2, ... .

…Через неделю после защиты диссертации я был снова в Комаровке (уже по интернатским делам) и по этому случаю Андрей Николаевич с Павлом Сергеевичем Александровым, который также там был, достали из шкафа бутылку сухого красного вина и торжественно отметили защиту. Официального банкета по поводу защиты не было, так как в те времена у нас в семье было плохо с деньгами, хотя, конечно, мы с друзьями и коллегами собрались у меня дома в плохо меблированной квартире и отпраздновали это событие. Вообще в те годы (целая пятилетка) было очень трудно с деньгами. Я много тогда занимался переводами, которые мне помог получить Б.В. Шабат, который в те времена заведовал математической редакцией издательства «Мир». Писал рецензии на многие книги в журнал «Новые книги за рубежом», перевел книгу Д. Вермера «Теория потенциала» и книгу У.Хеймана, П. Кеннеди «Субгармонические функции», две большие статьи Р.Варги, А, Руттана, А. Карпентера «Об одной гипотезе С. Бернштейна в теории приближений» и «Численные результаты о наилучших равномерных рациональных аппроксимациях» для журнала «Математический сборник». А.Н. Колмогоров мне также помог тогда в поисках заработков, порекомендовав меня П.С. Александрову, и мы с женой вставляли формулы (в те времена рукописи печатались на пишущей машинке и оставлялось место для вписывания туда формул от руки) в собрание сочинений П.С. Александрова, которое он готовил тогда к печати в «Науке». Стоит отметить, что у меня жена по образованию химик и, конечно, ей доставляло мало удовольствия эта чисто копировальная работа. Да и мне тоже она была в тягость, но П.С. Александров платил широко – 20 копеек за каждую страницу, а по тем временам это был высокий тариф. (Думаю, что они с Колмогоровым этот тариф предварительно обсудили). Те книги и статьи, которые я переводил, оказались крайне полезными в дальнейшем для многих исследователей; достаточно сказать, что применение теории потенциала в вопросах теории приближений аналитических функций рациональными стало сейчас одним из основных методов исследований. Когда я читал спецкурсы на мехмате «Введение в теорию потенциала», «Рациональные приближения функций», «Аппроксимации Паде», то я также широко использовал эти книги, а работы канадского математика Р. Варги и его аспирантов послужили исходным материалом для целого цикла работ и у нас.

… Первое из утверждений теоремы Монтессу де Боллора и теорема фабри об отношении дали основание для одной гипотезы (обратного характера), высказанной А.А. Гончаром, о том, что регулярное поведение нулей знаменателей аппроксимаций в какой-то строке таблицы Паде степенного ряда должно и задавать расположение особых точек мероморфного продолжения степенного ряда. Им же в работе «Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций» (Математический сборник АН СССР, 1981, т.115(157), №4(8), с. 590-613) эта гипотеза была подтверждена красивым результатом.

Результаты исследований «вокруг теоремы Адамара» были собраны в обзорную статью и в монографию, куда, конечно, были включены и другие результаты, полученные А. А. Гончаром, Е. А. Рахмановым, А.И. Аптекаревым (выпускник школы-интерната при МГУ), С.П. Суетиным, В. Буслаевым, В. А. Прохоровым (выпускник школы - интерната при МГУ и мой ученик) и др. Обзор был опубликован на английском языке, а монография на испанском: Survey en recent advances in inverse problems of Pade approximation theory (LNM, USA,1984), Algunas cuestiones de la teoria de approximacion (Siencia Tecnica, Cuba, 1986; Madrid “Aquiler”, Espania, 1994). На русском языке такого рода публикаций пока нет, но есть непреодолимое желание рассказать, в частности, эту историю вокруг теоремы Адамара широкой общественности. Дело продвигается медленно, но когда-нибудь и закончится. С написанием подобного текста сейчас основные трудности состоят в том, что накопилось достаточно много новых и важных результатов, но большинство из них сильно разняться по методикам доказательств. А хотелось бы в итоге получить «нечто читаемое» (цикл статей, книгу, ….) и не отягченное вопросами чисто технического характера. А это довольно трудное занятие - искать другие доказательства, которые укладывались бы в общую схему. Неизвестно, в частности, что делать с аналогом теоремы Адамара для функций многих комплексных переменных и результатами к нему примыкающими, которые даже и не опубликованы в полном объеме в настоящее время в широкой печати. Эти работы по многомерным аппроксимациям начались с одной важной теоремы, в которой и было собственно обосновано, что существует единственная разумная возможность для определения аппроксимаций Паде (этот результат принадлежит А.А. Гончару). В литературе встречается великое множество разнообразных определений таких аппроксимаций и до настоящего времени; они вводятся в зависимости от конкретной задачи и под нее выбирается та или иная схема интерполяции или аппроксимации. Интересен сам вопрос – вопрос об определении объекта для исследований, что очень редко встречается в математике. В наших подходах исходной точкой исследований было желание получить для изучения объект, который бы давал ясные и естественные обобщения большинства классических теорем, которые имеются в одномерном случае (Адамара, Монтессу де Болора, Фабри, Маркова, Стилтьеса, Гончара, Натолла, Померенке и др.). Было показано, что существует ровна одна возможность для реализации этого плана. Об этом я рассказывал на специализированной конференции в университете г. Тампа во Флориде (см. статью A. Gonchar, V. Vavilov, Rational approximations of fuctions of several complex variables, Jorn. of Approx. Theory, 1987). Перед выступлением, накануне вечером в гостинице мы продумывали свои выступления совместно с В.А. Калягиным, А. И. Аптекаревым и Г.Л. Лопесом. Понимая, что результат носит «революционный характер» и открывает новое направление исследований я вдруг вспомнил о своей защите диссертации в МГУ и решил остановиться на таком же варианте выступления, приготовив всего два слайда: на первом было четыре вопроса (Что? Чем? Как?, Зачем?), а на втором – формулировка теоремы: Существует единственная возможность определить таблицу многомерных аппроксимаций Паде. И все. Следуя такому примеру, В.А. Колягин нарисовал на своем первом слайде с заголовком доклада грузовик, в котором сидели люди и махали руками; у него был доклад о так называемых совместных аппроксимациях Паде для набора функций (то же своего рода многомерная ситуация). Наши доклады были встречены с энтузиазмом и восторгом, а потом долго вспоминались при различных встречах. Так вот, на этом пути удалось доказать, что для того, чтобы иметь в разумном классе функций многомерный вариант теоремы Монтессу де Боллора имеется только одна возможность при определении многомерных аппроксимаций Паде. Здесь то и пришлось «обогнуть» применение леммы Адамара из его диссертации, выдержав, в основном, одномерную логику доказательства (конечно, отягченную многомерностью ситуации). Впоследствии моя аспирантка Е.В. Брайнова (сама из Грузии, вышла замуж за болгарина, живет сейчас в Америке, имеет двоих детей) перенесла эти теоремы на обобщенные интерполяционные аппроксимации (схемы). Интересно, что при первоначальном поиске доказательств одномерной и многомерной теоремы Адамара мною осуществлялась попытка изучить сначала асимптотики нужных мне определителей (элементами которых являются коэффициентами степенного ряда). В достаточно широких частных случаях это удавалось для одного комплексного переменного. Я вычислил огромное число определителей, но это оказалось довольно трудным и хлопотным вычислительным делом, не привело к нужной цели и эти вычисления были отложены в сторону. Однако, когда Р. Ковачева (ученица А.А. Гончара и также из Болгарии) готовила свою диссертацию в теории многоточечных аппроксимаций Ньютона-Паде, одно из асимптотических тождеств, обнаруженных при «играх с определителями», неожиданно сгодилось и позволило доказать одну из хороших теорем. Аналогичные соображения и применение асимптотических формул для определителей привели к успеху и моего вьетнамского аспиранта Нгуен Тьи Конга при изучении эффектов, связанных со сверхсходимостью различных интерполяционных последовательностей рациональных функций в одномерном случае. Здесь также активно работали и другие мои аспиранты: С. Кошель (интернатский выпускник, его дочь в прошлом году закончила школу-интернат им. А.Н. Колмогорова по химическому отделению) и С. Чекрыжев; правда, первый из них защитил диссертацию по вычислительным методам в картографии и работает сейчас на географическом факультете МГУ, а второй, окончив после моей аспирантуры консерваторию, играет на клавишных инструментах и является одним из музыкальных руководителей в популярной у молодежи группе «Счастливый случай».

….Таблица Паде с двойным входом для данного степенного ряда является первичным объектом (каждой паре (m,n) целых неотрицательных чисел соответствует единственная рациональная функция, удовлетворяющая условию интерполяции и являющаяся отношением многочленов, степени не выше m в числителе, и не выше n – в знаменателе). Нулевая строка этой таблицы (m=0 – фиксировано, n стремится к бесконечности) состоит из частных сумм степенного ряда и поэтому вся теория функций комплексного переменного относится только к нулевой строке этой таблицы Паде. Но в этой таблице имеются и другие последовательности и очень важные для приложений в проблеме моментов теории вероятностей, в аналитической теории чисел и теории динамических систем. Это, в первую очередь теоремы А. Маркова, Т. Стилтьеса о диагональных последовательностях и их обобщения. Но по отношению к непрерывной функции на отрезке имеется аналогичная таблица рациональных аппроксимаций, которая также определяется единственным образом и состоит она из наилучших чебышевских рациональных аппроксимаций. Теория приближений непрерывной на отрезке функции многочленами – это теория о нулевой строке таблицы аппроксимаций Чебышева. Теория, относящаяся к m-й строке таблицы Чебышева, соответствует теории Адамара для строк таблицы Паде аналитических функций (более того, вторая, в главном, следует из первой). Естественно, что такое наблюдение не осталось в стороне и здесь много первоклассных работ. Но то, что касается строк, то есть тех результатов, которые имеют прямое отношение к классической теореме Адамара и результатам А.А.Гончара и С.П.Суетина обратного характера, то точку поставил здесь В. А. Прохоров - мой ученик в школе-интернате и на мехмате МГУ (сейчас работает во Флориде; его сын Дмитрий – также выпускник интерната - писал у меня курсовые и дипломную работы, но потом уехал с отцом). Именно он и сделал главный вклад в построение прямой и обратной теории в этой захватывающей интриге, напрямую связанной с докторской диссертацией Жака Адамара и теорией наилучших приближений, созданной П. Л. Чебышевым. Но это уже другая история…