Главная » Новости » Соревнования » Московская математическая регата 10 классов

Московская математическая регата 10 классов

03.03.2008, г. Москва

Прошла Московская математическая регата 10 классов. Команды СУНЦ занялим 1, 3 и 4 места!

1 марта 2008 года состоялась Московская математическая регата 10 классов. В регате приянли участие около 60 команд сильнейших школ Москвы, а также команды г. Дзержинский, г. Жуковский, г. Долгопрудный (Московская область), г. Санкт-Петербург, г. Кострома, г. Переславль Залесский.

Официальная страница РЕГАТ: http://olympiads.mccme.ru/regata/.

В регате приняли участие 3 команды СУНЦ МГУ:

"СУНЦ А" (состав: Золотов Алексей(10В), Калашник Анна(10В), Поповский Андрей(10В), Харитонов Михаил(10В))
"СУНЦ Б" (состав: Немиро Владислав(10Б), Печатов Михаил(10Б), Радонец Алексей(10Б), Ярославцев Иван(10Б))
"СУНЦ В" (состав: Журавель Александр(10В), Карпушин Владимир(10Б), Лямаев Сергей(10Б), Солин Алексей(10Б))

Команда "СУНЦ Б" заняла 1 абсолютное место, а команды "СУНЦ А" и "СУНЦ В" 3 и 4 места соответственно.

Приведем условия задач и результаты выступление команд:

Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).

1.1. Известно, что . Докажите, что

1.2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его сумма катетов равна 12, а сумма косинусов острых углов равна.

1.3. Можно ли разрезать куб на пять треугольных пирамид?

Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

2.1. Квадратный трехчлен f(x) = x² + аx + b имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка [0; 1], а другой – вне этого отрезка. Определите знак f(b).

2.2. На диагонали АС выпуклого четырехугольника АВСD выбрана точка О так, что OC = OD и РCОD = 90^o. Известно также, что РAОB = 110^o и точка О равноудалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырехугольника.

2.3. В верхнем углу таблицы 11ґ11 стоит число 1, а остальные клетки пусты. Сережа заполняет таблицу по следующему правилу: если в какой-то клетке стоит число x, то он ставит в любую соседнюю (по стороне) пустую клетку либо число 4x , либо число (x – 12), либо число (x + 3). Сможет ли он добиться того, чтобы сумма всех чисел таблицы стала равной нулю?

Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).

3.1. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z), где x, y и z – положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

3.2. Главные диагонали шестиугольного сечения куба пересекаются в одной точке. Обязательно ли это сечение проходит через центр куба?

3.3. Найдите все натуральные числа, которые в 11 раз больше суммы своих цифр.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов).

4.1. Известно, что для положительных чисел а, b и c выполняется неравенство: . Докажите, что .

4.2. Вершина С прямого угла треугольника АВС лежит внутри окружности с центром О и радиусом R, проходящей через концы гипотенузы АВ, СН – высота треугольника АВС. На прямой АВ взята точка K так, что KН = ОН. Найдите СK.

4.3. При каких натуральных значениях n числа nⁿ + 1 и (2n)²ⁿ + 1 являются простыми одновременно?

Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

5.1. Существует ли такая функция f(t), где tО [–1; 1], что для всех xО [0; p ] выполняется равенство f(cosx) = sinx?

5.2. Три высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке H, которая делит одну из высот пополам, а другую в отношении 2 : 1, считая от вершины. В каком отношении точка H делит третью высоту?

5.3. На дискотеку пришло некоторое количество мальчиков и девочек, всего – не более 40 человек. Каждая девочка бросила взгляд на каждого знакомого мальчика, а каждый мальчик бросил взгляд на каждую незнакомую ему девочку. Всего было брошено 117 взглядов. Сколько мальчиков могло быть на этой дискотеке?

Результаты регаты:

Команда	I тур			II тур			III тур			IV тур			V тур			Сумма	Диплом
Команда	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	Сумма	Диплом
СУНЦ Б	6	6	6	7	0	7	8	8	6	9	9	6	4	7	7	96	I
Кострома+УГП	6	6	6	7	3	7	8	0	8	9	0	1	7	7	7	82	II
СУНЦ А	6	6	6	0	7	7	7	0	8	9	0	3	7	7	6	79	II
СУНЦ В	6	6	0	5	7	7	7	4	4	9	0	0	0	7	6	68	III
1 5 4 3 Г	6	6	6	0	0	7	7	4	8	9	0	0	0	5	7	65	III
1 5 2 5	6	6	6	0	0	7	0	0	8	9	0	1	7	7	7	64	III
2 Е	0	6	0	7	7	0	8	0	8	9	0	0	7	0	7	59	III
Интеграция	6	6	0	7	0	0	8	2	7	9	0	0	7	0	7	59	III
2 В	6	6	6	7	0	0	8	0	3	9	0	0	7	0	6	58	III
2 0 0 7 Б	6	6	6	5	7	0	0	4	8	9	0	0	0	0	6	57	III
2 А	6	6	0	0	0	0	7	7	8	0	9	0	7	0	5	55	ПП
1 5 4 3 Б	0	6	6	0	0	0	7	7	8	8	0	0	7	0	6	55	ПП
1 5 1 1 А	6	6	6	7	0	0	7	0	8	0		1	7	0	6	54	ПП
1 5 1 4 А	6	6	0	0	0	7	7	8	8	0	0		7	0	4	53	ПП
1 9 2 А	6	6	6	0	0	4	8	4	4	0	0	0	7	0	6	51	ПП
2 1 8 Б	6	6	6	0	0	0	7	0	8	9	0	1	7	0	0	50	ПП
3 1 5 А	6	5	6	0		0	7	4	7	0	0	0	7	0	7	49	ПП
1 1 9 9	0	6	6	7		0	7	8	8	0	0	0	0	0	7	49	ПП
1 3 0 3	0	6	6	7	0	0	7	0	4	9	0	1	3	0	6	49	ПП
1 5 4 3 А	6	6	6	0	7	0	0	4	2	9	0	1	5	0	0	46	ПП
Кострома_БП	3	6	6	0	0	0	7	0	5	0	0	1	7	7	0	42	ПП
2 0 0 7 В	6	6	6	0	0	0	0	0	0	9	0	0	7	7	0	41	ПП
1 5 4 3 В	6	6	6	0	0	0	0	0	8	0	0	0	7	0	7	40	ПП
5 Долгопрудный	0	6	0	7	0	7	0	0	8	0	0	1	7	0	0	36
1 7 9	6	6	6	0	3	0	0	0	0	0	0	0	7	7	0	35
3 6 6 А С-Пб	6	6	0	0	0	0	7	0	8	0	0	0	7	0	1	35
1 1 8 9 А	0	6	6	7	0	0	0	0	8	0	0	1	7	0	0	35
2 0 0 7 А	6	6	0	0			7	0	8	0	0	1	7	0	0	35
3 6 6 Б С-Пб	6	6	0	0	0	0	7	8	0	0	0	0	7	0	0	34
3 6 6 В С-Пб	6	6	6	0	0	0	7	0	6	0	0	1	0	0	0	32
9 1 Б	6	6	6	0	0	0	0	0	6	0	0	0	0	7	0	31
9 1 А	6	6	6	5	0	0	0	0	0	0	0	1	5	1	0	30
1 0 9	6	6	0	0	0	0	8	0	0	0	0	1	7	0	0	28
1 9 2 Б	6	6	0	0	0	0	0	0	8	0	1	0	0	0	7	28
2 Б	6	6	0	0	0	0	7	0	8	0	0	0	0	0	0	27
2 Г	0	6	0	0	0	0	6	0	8	0	0	0	7	0	0	27
1 5 1 1 Б	0	6	6	0	0	0	7	0	8	0	0	0	0	0	0	27
5 4 А	6	6	0	5	0	0	0	0	0	0	0	1	7	0	0	25
1 5 6 8 А	6	6	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	7	0	0	25
3 1 5 Б	6	0	6	0	0	0	7	0	5	0	0	0	0	0	0	24
2 1 8 А	0	6	0	2	0	0	7	0	0	0	0	0	7	0	0	22
2 0 0 7 Г	0	6	0	7	0	0	7	0	1	0	0	1	0	0	0	22
14Б Жуковский	0	6	0	0	0	0	0	0	8	7	0	0	0	0	0	21
2 0 0 7 Ж	0	6	0	0	0	0	0	0	8	0	0	0	7	0	0	21
1 5 6 8 Б	6	6	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	7	0	0	20
1 5 6 8 В	0	6	0	0	0	0	7	4	1	0	0	0	0	0	1	19
5 4 Б	0	6	0	0		0	0	4	0	0	0	1	0	0	7	18
3 4 5	6	6	0	2	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	15
1 1 8 9 Б	6	6	0	0	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	0	15
1 5 6 4 А	0	6	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	7	0	0	15
1 1 3 0	0	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	7	0	0	14
2 0 0 7 Д	0	6	0	0		0	0	0	8	0	0	0	0	0	0	14
14А Жуковский	0	6	0	0	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	0	13
9 Королев	0	6	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	12
1 1 8 9 В	0	0	0	0	0	0	0	0	4	0	0	0	7	0	0	11
1 5 5 4				0	0	0	8	0	1	0	0	0	0	0	0	9
1 1 8 9 Г	0	0	0	0	0	0	7	0	0	0	0	1	0	0	0	8
2 0 0 7 E				0	0	0	0	0	0		0	1	7	0	0	8
4А Дзержинский	4	0	0	0	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	0	7
4Б Дзержинский	0	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6
1 5 6 4 Б	0	6	0	0	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0	6

Поздравляем победителей!

Желаем всем дальнейших успехов!