Главная » Новости » Соревнования » VI устная олимпиада по геометрии

VI устная олимпиада по геометрии

19.04.2008, г. Москва

Подведены итоги VI устной олимпиады по геометрии, проводившейся в рамках Четвертой всероссийской олимпиады по геометрии им. И.Ф. Шарыгина

Олимпиада по геометрии проводилась в рамках Четвертой Всероссийской олимпиады по геометрии памяти И.Ф. Шарыгина. В ней могли принять участие школьники 8–11 классов. Призеры олимпиады были награждены дипломами оргкомитета и математической литературой. Победители олимпиады – учащиеся 8–10 классов будут приглашены на финальный тур Всероссийской олимпиады по геометрии им. И.Ф. Шарыгина, который ориентировочно состоится 30 июля – 1 августа 2008 года в г. Дубне под Москвой.

Официальная страница олимпиады: http://olympiads.mccme.ru/ustn/

В олимпиаде приняли участие: 11 класс - 30 школьников, 10 класс - 52 школьников, 9 класс - 53 школьников, 8 класс - 81 школьников. В том числе школьники СУНЦ, а также школьники 9 класса, находившиеся в эти дни в СУНЦ на сборах по подготовке к финалу Всероссийской олимпиады школьников по математике (у некоторых из них в графе "школа" значится "СУНЦ МГУ", хотя в настоящее время они обучаются в других школах, а именно: Матдинов Марсель,Горбань Степан (оба гиназия № 1, г. Оренбург), Бояров Игорь (лицей №51, г. Тольятти), Радченко Василий (№33, г. Иваново)).

Результаты победителей

11 класс

Дипломы I степени: Котельский Артем 57, Ромаскевич Елена 1543

Дипломы II степени: Бабичев Дмитрий 5 (Долгопрудный), Нилов Федор Л2Ш

Дипломы III степени: Войнов Андрей Л2Ш, Харитонов Михаил гимназия (Удельная), Окунев Алексей 57, Стаценко Максим 57, Кузнецов Даниил 57, Панов Глеб 57, Пуртов Дмитрий 1543, Кисловская Анна СУНЦ МГУ, Воробьев Илья СУНЦ МГУ, Барышев Игорь СУНЦ МГУ, Зубков Илья СУНЦ МГУ, Семенов Иван 5 (Долгопрудный), Рязанов Василий 5(Долгопрудный)

Похвальные грамоты: Тихомиров Павел 5 (Долгопрудный), Семенцов-Огиевский Владимир 5 (Долгопрудный), Пинчук Денис 5 (Долгопрудный), Тлюстангелов Галим СУНЦ МГУ, Корчагин Антон СУНЦ МГУ

10 класс

Дипломы I степени: нет

Дипломы II степени: Аристова Анастасия 57, Облакова Анна 57, Ильмаров Александра 1514, Дробышевский Михаил 192, Кобаненко Глеб Л2Ш, Царьков Олег Л2Ш, Ярославцев Иван СУНЦ МГУ

Дипломы III степени: Завалин Михаил 57, Иванов Николай 1199, Немиро Владислав СУНЦ МГУ, Калашник Анна СУНЦ МГУ, Радонец Алексей СУНЦ МГУ, Тренин Кирилл СУНЦ МГУ, Кондакова Елизавета 1525, Турбина Наталья Интеллектуал, Шпакова Татьяна 14 (Жуковский)

Похвальные грамоты: Янушевич Леонид I-школа, Нилова Ольга 179, Дедовик Юлия ЛНИП (Королев), Суханов Лев 57, Яговцев Дмитрий 57

9 класс

Дипломы I степени: Матдинов Марсель СУНЦ МГУ

Дипломы II степени: нет

Дипломы III степени: Тимофеев Юрий Л2Ш, Козачинский Александр Л2Ш, Ивлев Федор 1543, Горбань Степан СУНЦ МГУ, Бояров Игорь СУНЦ МГУ

Похвальные грамоты: Николаев Семен 57, Попова Светлана 57, Покровский Федор 57, Радченко Ваислий 33 (Иваново), Ларшина Екатерина Л2Ш, Тужилина Елена Л2Ш, Борисова Татьяна Л2Ш, Блинов Андрей Интеллектуал

Условия задач

8–9 класс

1. На доске была нарисована система координат и отмечены точки A(1;2) и B(3;1). Систему координат стерли. Восстановите ее по двум отмеченным точкам.

2. В некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

3. В правильном шестиугольнике АВСDEF на прямой AF взята точка X так, что угол XСD = 45^o. Найдите угол FXE.

4. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС, Q – из А на DC, R – из D на АВ и Т – из D на ВС. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.

5. Восстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

6. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовем его "высотами" векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны, перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его "высот" равна нулевому вектору.

10–11 класс

1. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны?

2. Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей. Общие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

3. Дан четырехугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA' = CC' и BB' = DD'. Верно ли, что ABCD параллелограмм?

4. В треугольнике АВС угол А равен 120^o. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно АВ + АС.

6. Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причем их периметры одинаковы. Существует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

6. Дан треугольник ABC и точки P и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями P и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.